y′	y
		2
	′	0,5
	O				x′
					x
	−1	O

F −1

Рис. 1.7.8.

1.7.2. Поверхности второго порядка

Определение 1.7.2

Поверхностью второго порядка называется множество точек, которое задается уравнением

Ax2 + By2 +Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Pz + Q = 0 ,

где A, B,C, D, E, F,G, H , P,Q – заданные числа.

В некоторых случаях это уравнение определяет пару различных или совпадающих плоскостей, или одну единственную точку. Такие множества также называются поверхностью.

Если это уравнение определяет пустое множество, то есть, нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяют этому уравнению, то говорят, что оно определяет мнимую поверхность.

Основными частными случаями уравнения поверхности второго порядка являются уравнения следующих поверхностей.

Эллипсоид

	x2	+	y2	+	z2	=1	, (a,b, c > 0) .
	a2		b2		c2

При a = b = c = 0 эллипсоид обращается в сферу радиуса a с центром в начале координат, т. е. геометрическое место точек, отстоящих от начала координат на расстоянии a . Числа a,b,c называются полуосями эллипсоида. Если в уравнении эллипсоида заменить (одновременно или

порознь) x	на	− x ,		y	на − y , z на − z ,		то оно не изменится. Это означает, что поверхность
симметрична относительно координатных плоскостей:										x = 0, y = 0, z = 0 и начала координат.
При x ≥ 0,	y ≥ 0, z ≥ 0 часть эллипсоида,						находящаяся в первом октанте, определяется явным
уравнением
						z = c	1 −	x2	−	y2	,
								a2		b2
где x ≥ 0, y ≥ 0		,	x2	+	y2	≤1 .
			a2		b2

Чтобы составить более точное представление об эллипсоиде, произведем сечения

плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Например, пересекая эллипсоид

плоскостями z = h , (− c ≤ h ≤ c)

, получим в сечении эллипс

x2

+

y2

=1 −

h2

, или

x2

+

y2

=1

a

2

b

2

c

2

h

2

h

2

a2 1

−

b2 1

−

c

2

c

2

70

y = h , (−b ≤ h ≤ b ).

	с полуосями a 1 −	h2	, b 1 −	h2	.
		c2		c2

Отсюда видно, что самый большой эллипс получается в сечении эллипсоида плоскостью z = 0. Аналогичная картина будет при сечении плоскостями x = h (− a ≤ h ≤ a ) и

Точки (± a,0,0), (0, ± b,0) и (0,0, ± c ) лежат на эллипсоидеиназываютсяеговершинами.

Если какие-либо две полуоси равны между собой, то эллипсоид будет эллипсоидом вращения, т. е. получится от вращения эллипса относительно соответствующей оси координат.

Эллипсоид построен на рисунке 1.7.9.

z

c

b

a

y

x

Рис. 1.7.9.

Однополостный гиперболоид

	x2	+	y2	−	z2	=1	(a,b, c > 0) .
	a2		b2		c2

Из уравнения видно, что однополостный гиперболоид является поверхностью, симметричной относительно координатных плоскостей и начала координат. Числа a,b, c называются полуосями

однополостногогиперболоида. Точки (± a,0,0), (0, ± b,0) называются еговершинами. В сечении поверхности плоскостью z = h получится эллипс

x2

+

y2

=1+

h2

, или

x2

+

y2

=1

a2

b2

c2

h

2

h

2

a2 1

+

b2 1

+

c

2

c

2

	с полуосями a 1+	h2	, b 1+	h2	.
		c2		c2

В сечениях поверхности плоскостями x = ±h или y = ±h получатся гиперболы

y 2

−

z 2

=1−

h2

или

x2

−

z2

=1−

h2

.

b2

c2

a 2

a2

c2

b2

71

z

		a	b	y
		x
		Рис. 1.7.10.
Если	h ≤ a , то действительной осью		симметрии первой гиперболы является прямая,
параллельная оси Oy , а при h ≥ a - прямая, параллельная оси Oz .
Аналогично для второй гиперболы. Если			h ≤ b , то действительной осью симметрии первой
гиперболы является прямая, параллельная оси Ox , а при				h ≥ b -	прямая,	параллельная оси
Oz .	a = b ,			z = ±h
Если		то в сечении поверхности плоскостями			будут	окружности радиуса
a 1+ (h2 / c2 ).		Исследуемая поверхность в	этом случае образуется от вращения гиперболы

ax22 − cz22 =1 около оси Oz . Общий вид однополостного гиперболоида изображен на рисунке 1.7.10.

Двуполостный гиперболоид

x2 + y2 − z2 = −1, (a,b, c > 0) . a2 b2 c2

Так как уравнение содержит только квадраты переменных, то данная поверхность симметрична относительно координатных плоскостей x = 0, y = 0, z = 0 и начала координат.

Если записать уравнение поверхности в виде

x2

+

y2

= −1+

z2

,

a2

b2

c2

тоясно, что, пересекаяееплоскостью z = ±h , где

h

≥ c , получимвсеченииэллипс

x2

+

y2

= −1+

h2

, или

x2

+

y

2

=1

a2

b2

c2

h

2

h

2

a

2

−1 +

b2

−1

+

2

c

2

c

с полуосями a (h2 / c2 )−1 и b

(h2 / c2 )−1 .

72

z ≥ 0 .

z

c O

y

−c

x

Рис. 1.7.11.

число (h2 / c2 )−1 < 0 , и

При

z

= c в сечении получаются две точки

(0,0,± c). При

h

< c

поэтому нет точек пересечения поверхности и плоскости z = ±h .

При сечении поверхности плоскостями x = ±h

(y = ±h) получим гиперболы

−

y2

+

z2

=1 +

h2

и −

x2

+

z2

=1 +

h2

.

b2

c2

a2

a2

c2

b2

с вершинами на оси Oz .

Двуполостный гиперболоид построен на рисунке 1.7.11.

Эллиптический параболоид

x2

+

y

2

= 2z , ( p, q > 0) .

p2

q

2

Так как в уравнении присутствуют квадрата

переменных x

и

y ,

то данная поверхность

симметрична, относительна координатных плоскостей

x = 0 ,

y = 0 .

Поверхность расположена в

полупространстве

Пересекая поверхность плоскостями z = h (h ≥ 0), в сечении будут получаться эллипсы

	x2	+	y2	= 2h или	x2	+	y2	=1
	p2		q2		2h p2		2h q2

с полуосями p 2h и q 2h , ( p, q > 0 ).

Пересекая поверхность плоскостями x = ±h (или y = ±h ), получим в сечении параболы

h2

h2

y2 = 2q2 z

−

, x

2

=

2 p2 z −

.

2

2

2 p

2q

h2

h2

со смещенной вершиной в точке

z =

z =

.

2

2 p

2

2q

При p = q поверхность будет поверхностью вращения, получающейся от вращения параболы x2 = 2 p2 z вокруг оси Oz . В этом случае поверхность называют параболоидом вращения.

73