Числа a и b называются полуосями гиперболы, a - действительной полуосью, а b - мнимой

полуосью.

Для части гиперболы, находящейся в первой четверти, явное уравнение имеет вид

y =

b

x2 − a2 , (a ≤ x < ∞),

a

из которого видно, что

y

принимает вещественные значения при

x

≥ a . Следовательно, нет

точек кривой, расположенных в полосе

x

≤ a . Кроме того, из явного уравнения можно видеть,

что при возрастании

x

на полуинтервале [a,+∞) ордината y

возрастает

и стремится к

бесконечности.

Определение 1.7.1

y = f (x) при

Прямая y = kx +b

является асимптотой кривой, заданной

уравнением

x → +∞ (x → −∞), если

lim [f (x) − kx −b]= 0 или lim [f (x) − kx −b]= 0 .

x→+∞

x→−∞

Теорема 1.7.3

Прямые y == ± ba x являются асимптотами гиперболы.

Доказательство

Для части гиперболы в первой четверти, определяемой равенством y = ba x2 − a2 и прямой

y = ba x :

b

x2 − a2

b

x2

− a2 − x

lim

− bxa

=

lim

=

x→∞ a

x→∞ a

=

b x2 − x2 − a

2

=

b

− a

2

= 0 .

lim

lim

2

2

2

x→∞ a

x +

x

− a

2

x→∞ a

x +

x

− a

Это означает, что

прямая

y =

b

x

является асимптотой

гиперболы при x → +∞. В силу

a

симметрии гиперболыотносительноосей, такжекакисимметриипарыпрямых y = ± ba x относительно

осей, можно сказать, что обе эти прямые являются асимптотами как при x → +∞, так и при x → −∞. Вид кривой показан на рисунке 1.7.4.

65

y

F1	А	2	А		F	2
			1
− c	− a		a	c		x

Рис. 1.7.4.

Эксцентриситет гиперболы ε = ac , где a - действительная полуось. Так как у гиперболы c > a ,

то ее эксцентриситет ε >1.

Зависимость формы гиперболы от величины эксцентриситета можно выяснить, если зафиксировать значение a и увеличивать значение параметра c . При этом будут увеличиваться

величина эксцентриситета ε и значение параметра b , так как b2 = c2 − a2 . но тогда будет расти и абсолютная величина ba углового коэффициента асимптот гиперболы. Следовательно, при увеличении эксцентриситета увеличивается размах ветвей гиперболы.

Парабола

Параболой называется множество точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой.

Теорема 1.7.4

Если точка F - фокус параболы, а прямая l - ее директриса и задано расстояние между ними, равное p , то в системе координат, где ось Ox проходит через F перпендикулярно l и

направлена от фокуса к директрисе, а начало координат выбрано посередине между ними, уравнение параболы имеет вид

y2 = 2 px , (p > 0)

Доказательство

Во введенной системе координат координаты фокуса F(2p ,0) и уравнение директрисы l : x = − 2p (рис. 1.7.5). Если точка A(x, y) лежит на параболе, то справедливо

AF = AB , или AF 2 = AB2 ,

где B(− 2p , y)– точка пересечения перпендикуляра, проведенного из A на директрису l .

66

B

y

A

y

F

−

p

O

x

p

x

2

2

Рис. 1.7.5.

Поскольку

p

2

p

2

p 2

p 2

AF 2 = x −

+ y2

и AB2 = x +

, то x −

+ y2 = x +

,

2

2

2

2

что равносильно

x2 − px +

p2

+ y2

= x2 + px +

p2

, или − px + y2

= px ,

4

4

откуда следует уравнение параболы

y2

= 2 px ,

которое называется каноническим.

Исследование формы кривой

Из уравнения параболы видно, что кривая симметрична относительно оси

Ox и проходит

через начало координат. Для ее ветви в верхней полуплоскости,

при y ≥ 0 ,

явно решенное

относительно y уравнение имеет вид

y = 2 px (0 ≤ x ≤ ∞),

из которого видно, что когда x возрастает на полуинтервале [0,+∞), ордината y возрастает от 0 до + ∞ .

При y ≤ 0 ветвь гиперболы симметрична относительно оси Ox . Парабола не имеет асимптот.

Эксцентриситет параболы равен 1 и не влияет на форму кривой. Вид кривой показан на рисунке

1.7.6.

y

O

x

Рис. 1.7.6.

Задача 1.7.1

Построить кривую, заданную уравнением y2 − x2 = 4.

67