3. Определение вектора, ортогонального двум данным

Иногда в задачах требуется найти вектор, ортогональный двум данным. Если c a , cv b , то c[a,b ](рис. 1.4.7).

[av, b]

cr

b

				a
			Рис. 1.4.7.
Задача 1.4.9
Найти вектор p , ортогональный векторам
	1	− 7		1
a =	2	и b = 0 , для которого (p , c )= 3, где c = 1 .
3		2		1
Решение				[a, b ],		следовательно p = α [a, b ].
Вектор		p коллинеарен векторному	произведению
Поскольку
			4		4				4α
		[a, b]= 4i −23 j +14k =	−23 , то p =α		−23		=		−23α .
		14		14				14α
Так как (p,c )= 3 , то 4α 1 − 23α 1 +14α 1 = 3 или −5α = 3 ,					α = −		3	= −0,6 .
							5
					4		− 2,4
Теперь можно определить координаты вектора p : p = α − 23 =								13,8 .
				14			−8,4

1.4.3. Смешанное произведение

Операция смешанного произведения имеет смысл только в ориентированном пространстве. Число участвующих в ней векторов равно размерности пространства, а результат операции – число.

Определение 1.4.2

Смешанным произведением a b c трех векторов a , b и c называется число, абсолютная величина a b c которого равна объему параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c , а

знак указывает, совпадает ли ориентация тройки векторов a , b , c с ориентацией пространства

(рис. 1.4.8).

30