Задача 1.2.4

x1 + x2 + x3 = 6

− 2x − x + 4x = 8

Решите систему методом Гаусса 1 2 3 .

3x1 + 2x2 − x3 = 4

Решение

1 шаг – формирование первого столбца.

Первую строку, умноженную на (2), прибавим ко второй строке, первую строку, умноженную на (-3) и прибавим к третьей строке расширенной матрицы. После этого все элементы первого столбца матрицы, кроме первого окажутся равными нулю.

		x1	x2	x										x	x	x
				3					(2)(−3)					1	2	3
		1	1	1		6								1	1	1		6
		−2	−1 4			8								0	1	6		20
												~
		3	2	−1		4								0	−1 − 4			−14

2 шаг – формирование второго столбца.

Вторую строку, умноженную на (-1), прибавим к первой строке, вторую строку прибавим к третьей строке расширенной матрицы. После этого все элементы второго столбца матрицы, кроме диагонального, окажутся равными нулю.

	x1 x2 x3										x1 x2 x3
	1	1	1		6					1		0	−5		−14
	0	1	6		20						0	1	6		20
~								(1) (−1)~
	0	−1	− 4		−14						0	0	2		6

3 шаг – формирование третьего столбца.

Третью строку разделим на 2, чтобы ее диагональный элемент равнялся нулю. После этого третью строку, умноженную на (-6), прибавим ко второй и третью строку, умноженную на 5, прибавим к первой строке.

	x1 x2		x3						x x x													x x x
									1	2		3										1	2	3
	1	0	−5		−14				1	0	−5		−14									1	0	0		1
~	0	1	6		20		~		0	1	6		20							~		0	1	0		2
	0	0	2		6		: (2)		0	0	1		3	(−			6)(		5)			0	0	1		3

Решение системы, которая соответствует полученной расширенной матрице, очевидно

x1 =1
x2	= 2 .
x	= 3
3

Теорема Кронекера – Копелли

Для того, чтобы СЛАУ m уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы r(A) был равен рангу расширенной матрицы r(B).

При этом: если r(A)=r(B)=n, то система имеет единственное решение, если r(A)=r(B)<n, то система имеет бесконечно много решений.

Задача 1.2.5

x1 − 2x2 + x3 − x4 = 4
Решите систему уравнений 2x1 −3x2 + 4x3 + x4 = 2 .
x	−3x	− x	−4x =10
1	2	3	4

12