Из рис. 1.6.7 ясно,	что нормальный			вектор			плоскости		- это		вектор n = [M1M2 , M1M3 ].
					3				− 2
	векторов M1M2				−3		и M1M3			−7
Вычислим координаты				=					=		, а также их векторное
					−1					5
произведение
[M1M2 , M1M3 ]=			i		j		k
			3 −3 −1					= −22i −13 j − 27k .
			− 2 −7				5

22

Следовательно, в качестве нормального вектора можно взять вектор n = 13 . Подставив его

27

координаты, а также координаты любой из точек, например М1 в уравнение плоскости с нормальным вектором, получим

22(x −1)+13( y − 2)+ 27(z + 3)= 0 , или 22x +13y + 27z + 33 = 0.

Задача 1.6.11

Напишите уравнение плоскости проходящей через ось Ox и через точку M (1,1,1).

Решение

Для искомой плоскости известны координаты точки, лежащей на плоскости, это O (0, 0, 0) или

M (1,1,1). Поскольку векторы i и OM , коллинеарны плоскости, то нормальный вектор

n = [OM ,i]=	i	j	k		0
	1	1	1		1		O и
				= 0i + j − k =		, а тогда, подставляя координаты точки
	1	0	0
					−1

координаты вектора n в уравнение A(x − x0 )+ В(y − y0 )+C(z − z0 )= 0, получим

0 (x − 0)+1 ( y − 0)−1 (z − 0)= 0 , или y − z = 0.

Теорема 1.6.4

Если плоскость пересекает все три координатные оси и заданы абсцисса a точки пересечения плоскости с осью Ox , ордината b точки пересечения плоскости с осью Oy и аппликата c точки пересечения плоскости с осью Oz , то уравнение плоскости может быть записано в виде

x	+	y	+	z	=1.
a		b		c

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках, а числа a , b и c - «отрезками».

Доказательство

Для доказательства		воспользуемся тем, что		заданная плоскость проходит через точки
A(a , 0, 0),	B (0,b, 0)	и C (0, 0, c )	(рис. 1.6.8).	Нормальным вектором плоскости является
вектор n =	AB , AC .
			51