Доказательство

Линейное уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений. Пусть x0 , y0 и

x1 , y1 любые два решения этого уравнения. Из определения уравнения линии следует, что точки

M0 (x0 , y0 ) и M1 (x1, y1 ) принадлежат данной линии, то есть, справедливы равенства

A x0 + B y0 + C = 0 и A x1 + B y1 + C = 0 .

Вычитая из первого равенства второе, получим уравнение A(x1 − x0 )+ B ( y1 − y0 )= 0 .

Если рассмотреть векторы	x		− x			r		A
	r =	1	0			и n	=	, то последнее уравнение эквивалентно
	y		− y	0				B
		1
векторному уравнению (rv, nr)= 0, что означает, что любой вектор с началом и концом на данной
линии ортогонален вектору nr	. Ясно, что такому условию удовлетворяют только точки, лежащие на
прямой.
ЗАМЕЧАНИЕ
Из доказательства теоремы следует геометрический смысл коэффициентов									A и B . Это координаты
перпендикулярного ей вектора		nr, который					называется нормальным		вектором, а уравнение

A x + B y + C = 0 – общим уравнением прямой.

42