- •Раздел 1. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия
- •1.1. Матрицы и определители
- •1.1.1. Матрицы. Действия с матрицами
- •Виды квадратных матриц
- •Транспонирование матриц
- •Линейные операции над матрицами
- •Сложение матриц
- •Умножение матрицы на число
- •Задача 1.1.1
- •Решение
- •Умножение матриц
- •Задача 1.1.2
- •Решение
- •1.1.2. Определители
- •Определитель второго порядка
- •Определитель третьего порядка
- •Основные свойства определителей
- •Теорема разложения
- •Задача 1.1.3
- •Решение
- •1.1.3. Обратная матрица
- •Задача 1.1.4
- •Решение
- •1.1.4. Ранг матрицы. Элементарные преобразования в матрице
- •Задача 1.1.5
- •Решение
- •1.2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
- •1.2.1. Формулы Крамера
- •Задача 1.2.1
- •Решение
- •1.2.2. Матричный метод
- •Задача 1.2.2
- •Решение
- •Задача 1.2.3
- •Решение
- •Проверка
- •1.2.3. Метод Гаусса
- •Задача 1.2.4
- •Решение
- •Задача 1.2.5
- •Решение
- •1.2.4. Однородные системы
- •Определение 1.2.1
- •Решение
- •1.3. Векторы. Линейное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность линейного векторного пространства
- •1.3.1. Понятие вектора. Линейное векторное пространство.
- •Определение 1.3.1
- •1.3.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
- •Определение 1.3.2
- •Определение 1.3.3
- •Определение 1.3.4
- •Задача 1.3.2
- •Решение
- •Определение 1.3.5
- •Задача 1.3.3
- •Решение
- •1.3.3. Размерность и базис линейного пространства. Линейная зависимость любых четырех векторов в трехмерном пространстве
- •Определение 1.3.6
- •Определение 1.3.7
- •1.3.4. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису
- •Определение 1.3.8
- •Определение 1.3.9
- •Определение 1.3.10
- •Определение 1.3.11
- •1.4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •1.4.1. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •Геометрический смысл скалярного произведения
- •Теорема 1.4.1.
- •Доказательство
- •Задача 1.4.1
- •Решение
- •Задача 1.4.2
- •Решение
- •Задачи, использующие скалярное произведение
- •Задача 1.4.3
- •Решение
- •2. Вычисление проекции вектора на направление другого вектора
- •Задача 1.4.4
- •Решение
- •3. Вычисление работы, производимой силой по перемещению материальной точки.
- •Задача 1.4.5
- •Решение
- •1.4.2. Векторное произведение
- •Определение 1.4.1
- •Задача 1.4.6
- •Решение
- •Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе
- •Задачи, использующие векторное произведение.
- •1. Вычисление площадей параллелограмма и треугольника
- •Задача 1.4.7
- •Решение
- •2. Вычисление момента силы
- •Задача 1.4.8
- •Решение
- •3. Определение вектора, ортогонального двум данным
- •Задача 1.4.9
- •Решение
- •1.4.3. Смешанное произведение
- •Определение 1.4.2
- •Свойства смешанного произведения
- •Задачи, использующие смешанное произведение
- •Задача 1.4.10
- •Решение
- •Задача 1.4.11
- •Решение
- •Задача 1.4.12
- •Решение
- •1.5. Кривые на плоскости и поверхности в пространстве
- •1.5.1. Метод координат на плоскости
- •1.5.2. Линии на плоскости
- •Определение
- •Задача 1.5.1
- •Решение
- •1.5.3. Метод координат в пространстве
- •1.5.4. Поверхности в пространстве и их уравнения
- •Задача 1.5.2
- •1.5.5. Линии в пространстве. Параметрическое задание линий на плоскости и в пространстве
- •Задача 1.5.3
- •Задача 1.5.4
- •Кривые на плоскости, заданные параметрическими уравнениями
- •Окружность
- •Эллипс
- •Астроида
- •Циклоида
- •Задача 1.5.5
- •1.5.6. Полярная система координат
- •Задача 1.5.6
- •Решение
- •Задача 1.5.7
- •Решение
- •Задача 1.5.8
- •Решение
- •Задача 1.5.9
- •Решение
- •1.6. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве
- •1.6.1. Уравнения прямой на плоскости
- •Теорема 1.6.1
- •Доказательство
- •Различные виды уравнений прямой на плоскости
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение прямой с нормальным вектором
- •Каноническое уравнение прямой
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми
- •Точка пересечения прямых
- •Расстояние от точки до прямой
- •1.6.2. Уравнения плоскости
- •Теорема 1.6.2.
- •Доказательство
- •Уравнение плоскости с нормальным вектором
- •Задача 1.6.5
- •Решение
- •Задача 1.6.6
- •Решение
- •Задача 1.6.7
- •Решение
- •Задача 1.6.8
- •Решение
- •Задача 1.6.9
- •Решение
- •Теорема 1.6.3
- •Задача 1.6.10
- •Решение
- •Задача 1.6.11
- •Решение
- •Теорема 1.6.4
- •Доказательство
- •Задача 1.6.12
- •Решение
- •Исследование общего уравнения плоскости
- •Определение
- •Задача 1.6.13
- •Решение
- •1.6.3. Уравнения прямой в пространстве
- •Теорема 1.6.5
- •Параметрические и канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямых
- •Параметрические уравнения прямой
- •Канонические уравнения прямой
- •Задача 1.6.14
- •Решение
- •Задача 1.6.15
- •Решение
- •Угол между прямыми
- •Условие перпендикулярности прямых
- •Условие параллельности прямых
- •Условия пересечения прямых в пространстве
- •Задача 1.6.16
- •Решение
- •Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду
- •Задача 1.6.17
- •Решение
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Угол между прямой и плоскостью
- •Условие параллельности прямой и плоскости.
- •Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
- •Задача 1.6.18
- •Решение
- •Точка пересечения прямой и плоскости
- •Задача 1.6.19
- •Решение
- •1.7. Кривые и поверхности второго порядка
- •1.7.1. Кривые второго порядка
- •Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка
- •Уравнение эллипса
- •Уравнение гиперболы
- •Уравнение параболы
- •Уравнение пары пересекающихся прямых
- •Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых
- •Уравнение, определяющее точку
- •Эллипс
- •Теорема 1.7.1
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой
- •Гипербола
- •Теорема 1.7.2
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой.
- •Определение 1.7.1
- •Теорема 1.7.3
- •Доказательство
- •Парабола
- •Теорема 1.7.4
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой
- •Задача 1.7.1
- •Решение
- •Преобразование координат на плоскости. Построение кривых заданных общим уравнением
- •Уравнение эллипса с центром симметрии в точке
- •Уравнение гиперболы с центром симметрии в точке
- •Уравнение параболы с вершиной в точке
- •Задача 1.7.2
- •Решение
- •1.7.2. Поверхности второго порядка
- •Определение 1.7.2
- •Эллипсоид
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Конус второго порядка.
- •Цилиндры второго порядка
- •Определение 1.7.3
- •Эллиптический цилиндр
- •Гиперболический и параболический цилиндры
- •Задача 1.3.1
- •Решение
уравнение (1) определяет мнимую кривую второго порядка. Уравнение x2 + y2 = −1 может
служить примером уравнения второй степени, определяющего мнимую кривую, в данном случае мнимую окружность.
Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка
Уравнение эллипса
x2 |
+ |
y2 |
= 1 (a ≥ b > 0) |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
с полуосями длины a и b . В частности, при a = b уравнение окружности
x2 + y2 = a2
с центром в начале координат и радиусом a .
Уравнение гиперболы
x2 |
− |
y 2 |
=1 (a ≥ b > 0) |
|
a 2 |
b2 |
|||
|
|
с полуосями a и b .
Уравнение параболы
y2 = 2 px (p > 0).
Уравнение пары пересекающихся прямых
a2 x2 −b2 y2 = 0 , (0 < a,b) или y = ± ba x .
Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых
x2 − a2 = 0 (a ≥ 0), или x = ±a . y2 −b2 = 0, (b ≥ 0) или y = ±b .
Уравнение, определяющее точку
x2 + y2 |
= 0 |
x = 0 |
. |
, или |
|||
|
|
y = 0 |
|
Эллипс
Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Теорема 1.7.1
Если известны: расстояние между фокусами F1 |
и F2 эллипса, равное 2c и сумма расстояний |
||||
от любой точки на эллипсе до фокусов, равное |
2a , то в прямоугольной декартовой системе |
||||
координат, где ось Ox проходит через фокусы |
F1 и F2 (от F1 к F2 ), а начало координат |
||||
посередине между ними, уравнение эллипса имеет вид |
|||||
|
x2 |
+ |
y 2 |
=1, где b2 = a2 −c2 . |
|
|
a 2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
61
Доказательство
y
y |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
F2 |
|
x |
|
|
|
−c |
|
x c |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.7.1. |
|
|
|
|||
Во введенной системе координат фокусы расположены на оси |
Ox и имеют координаты |
|||||||
F1(− c, 0) и F2 (c, 0). Пусть точка M (x, y) принадлежит эллипсу (рис. 1.7.1). Тогда |
||||||||
MF = (x + c)2 |
+ y2 , MF = (x − c)2 |
+ y2 |
, |
|||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
2a = (x + c)2 + y2 + (x −c)2 + y2 ,
перенося первый радикал из правой части в левую, запишем
2a − (x + c)2 + y2 = (x −c)2 + y2 .
Возведем обе части уравнения в квадрат
4a2 + (x + c)2 + y2 − 4a (x + c)2 + y2 = (x −c)2 + y2
и раскроем квадраты в левой и правой частях
4a2 + x2 + 2cx + y2 + c2 − 4a (x + c)2 + y2 = x2 − 2xc + c2 + y2 .
Приводя подобные члены, получим уравнение
4a2 + 4cx = 4a (x + c)2 + y2 ,
обе части которого разделим на 4 и снова возведем в квадрат. тогда уравнение примет вид
a4 + 2a2cx + c2 x2 = a2 [x2 + 2cx + c2 + y2 ].
Последнее уравнение можно упростить, если раскрыть скобки и привести подобные члены,
a4 + 2a2cx + c2x2 = a2x2 + 2a2cx + a2c2 + a2 y2 , − (a2 −c2 )x2 = −a2(a2 −c2 )+ a2 y2 .
Поскольку из определения эллипса следует, что 2a > 2c , то число a2 −c2 > 0 и его можно обозначить, как b2 = a2 −c2 . Тогда уравнение эллипса запишется в виде
−b2 x2 = −a2b2 + a2 y2 , или a2b2 = b2 x2 + a2 y2 .
Разделив последнее уравнение на a2b2 , получим |
|
|||
|
x2 |
+ |
y 2 |
=1. |
|
a 2 |
b2 |
||
|
|
|
Такое уравнение эллипса называется каноническим.
Исследование формы кривой
Если в уравнении эллипса |
x2 |
+ |
y 2 |
=1 заменить x на − x , |
то его вид не изменится. Это |
|
a 2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
|||
означает, что если точка M (x, y) |
принадлежит кривой, то точка |
M1(− x, y) также принадлежит |
этой кривой. Следовательно, кривая симметрична относительно оси ординат. Эллипс симметричен и
62
относительно оси абсцисс, потому что его уравнение не меняется при замене y на − y . Учитывая
это, достаточно изучить вид кривой в первой четверти, то есть при условии x, y ≥ 0. |
|
|
||||
При x, y ≥ 0 можно задать кривую в виде явного уравнения |
y = |
b |
a2 − x2 , |
(0 ≤ x ≤ a). Из |
||
a |
||||||
этого уравнения ясно, что кривая проходит через точки B(0,b) |
и A(a,0). Эти точки называются |
|||||
вершинами эллипса. |
|
|
|
|
|
|
Эллипс — ограниченная кривая, которая находится внутри прямоугольника |
0 ≤ x ≤ a |
. Из |
||||
|
|
|||||
явного уравнения эллипса ясно, что ордината y при непрерывном возрастании |
0 ≤ y ≤ b |
|
||||
x |
на отрезке |
[0, a] монотонно убывает. Следовательно, эллипс есть непрерывная замкнутая кривая, в первой
четверти она выпукла вверх, в любой ее точке можно провести касательную. В остальных четвертях кривая строится с учетом симметрии относительно координатных осей.
Числа a и b называются полуосями эллипса. Поскольку b2 = a2 −c2 , то a > b и эллипс вытянут вдоль оси Ox . При этом a называется большей полуосью, а b - меньшей полуосью эллипса. Вид кривой показан на рисунке 1.7.2.
|
|
y |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
F1 |
F2 |
|
x |
|
− a |
−c |
c |
a |
||
|
|||||
|
|
−b |
|
|
|
|
|
Рис. 1.7.2. |
|
|
При a = b эллипс представляет собой окружность радиуса Уравнение этой окружности
a с центром в начале координат.
x2 + y2 = a2 .
Эксцентриситетом эллипса называется число ε = ac . Для эксцентриситета эллипса
справедливо неравенство 0 < ε <1, поскольку из определения эллипса следует, что c > a > 0. Эксцентриситет окружности ε = 0 , поскольку для окружности a = b и c = 0 .
Учитывая то, что эксцентриситет окружности ε = 0 , можно сделать вывод, что чем больше эксцентриситет эллипса, тем больше он вытянут относительно одной из осей симметрии.
Гипербола
Гиперболой называется множество точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Теорема 1.7.2
Если известны: расстояние между фокусами F1 и F2 гиперболы, равное 2c и разность расстояний от любой ее точки до фокусов, равное 2a , то в прямоугольной декартовой системе
координат, где ось Ox проходит через фокусы F1 и F2 (от F1 |
к |
F2 ), а начало координат |
||||
посередине между фокусами, уравнение гиперболы имеет вид |
x2 |
|
− |
|
y2 |
=1, где a,b > 0 и |
a2 |
|
|
b2 |
|||
|
|
|
|
|
b2 = c2 − a2 .
63
Доказательство
y
y |
A |
|
F1 |
F |
x |
−c |
2 |
|
x c |
|
|
|
Рис. 1.7.3. |
|
Во введенной системе xOy координаты фокусов равны F1(−c,0), F2(c,0). Если точка A(x, y)
принадлежит гиперболе, то справедливо AF1 − AF2 = 2a , или AF1 − AF2 = ±2a (рис. 1.7.3).
Подставив в последнее равенство координаты точек A, F1, F2 , получим
(x + c)2 + y2 − (x −c)2 + y2 = ±2a ,
или (x + c)2 + y2 = (x −c)2 + y2 ± 2a .
Возведем обе части последнего уравнения в квадрат
(x + c)2 + y2 = (x −c)2 + y2 ± 4a (x −c)2 + y2 + 4a2
и упростим его, раскрыв все квадраты
x2 + 2cx + c2 + y2 = x2 − 2cx + c2 + y2 ± 4a (x −c)2 + y2 + 4a2
и приведя подобные члены
4cx − 4a2 = ±4a (x − c)2 + y2 .
Последнее уравнение разделим на 4 и снова возведем в квадрат c2 x2 − 2cxa2 + a4 = a2 (x2 − 2cx + c2 + y2 ).
Раскрыв скобки и сделав упрощения, получим уравнение
(c2 − a2 )x2 − a2 y2 = a2(c2 − a2 ),
в котором c2 − a2 > 0, поскольку 2c > 2a из определения гиперболы. Из этого следует, что можно ввести обозначение и записать уравнение гиперболы в виде b2 x2 − a2 y2 = a2b2 .
Разделив на a2b2 , получим уравнение гиперболы
ax22 − by22 =1,
которое называется каноническим.
Исследование формы кривой.
Из вида уравнения ясно, |
что гипербола симметрична относительно оси Ox и оси Oy . При |
|||||||
x = 0 получим уравнение |
− |
|
y2 |
=1, |
которое не имеет вещественных корней. Следовательно, |
|||
|
b2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кривая не пересекает ось |
Oy . При |
y = 0 получим уравнение |
|
x2 |
=1, корни которого x = ±a . |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
Следовательно, кривая пересекает ось Ox в точках A1(a, 0) и |
A2 (− a, 0). Эти точки называются |
вершинами гиперболы.
64