ЗАМЕЧАНИЕ

Матрицы A и A−1 - коммутативны.

Обратная матрица A−1 определена

только

для квадратных невырожденных матриц

и

вычисляется по формуле: A−1 =

1

CT

,

где

A

- определитель матрицы A, а матрица

C

A

(союзная матрица) получается из матрицы A заменой всех ее элементов на алгебраические дополнения.

Задача 1.1.4

− 2		2	−3
	2	−1	2
Найти матрицу, обратную к матрице A =				.
	3	−1	3

Решение

Определитель матрицы A = −1 ≠ 0 . Вычислим алгебраические дополнения для ее элементов и составим союзную матрицу.

	A =							−1 2								= −1 , A = −										2 2						= 0 , A =							2 −1							=1,
		11						−1 3											12							3 3										13			3 −1
A = −					2 −3								= −3 , A =										− 2 −3										= 3, A = −									− 2 2									= 4 ,
21					−1		3											22						3			3										23					3				−1
A =			2 −3								=1 , A = −										− 2 −3								= −2 , A =											− 2 2									= −2 .
31			−1 2														32				2						2										33			2 −1
								−1 0											1													−1 −3 1
											−3 3								4					, CT =										0			3 −				2
						C =																																					.
											1					− 2 − 2																		1			4 −				2
																																		1			3					−1
																											A−1 =								0		−3					2
						Тогда обратная матрица:																																						.
																																			−1		− 4					2
			− 2 2													−3 1								3 −1												1 0 0
Проверка. A A−1						2		−1								2			0					−3			2									0	1			0
	=																																	=								.
						3		−1 3											−1					− 4 2												0 0 1

1.1.4. Ранг матрицы. Элементарные преобразования в матрице

Минором k - ого порядка матрицы называется определитель, который получится на пересечении k ее строк и k столбцов.

	1			4	2
	−1			0	3
Например, в матрице
	−4			3	2
			4	2	1
порядка, а определитель			0	3	2
			3	2	− 2

0
2		1	4	является ее минором второго
	определитель
− 2		−1	0

- минором третьего порядка.

7