α

M

O

l

M 0

Рис. 1.6.14.

x = 4 + t

Запишем уравнения прямой l

в

параметрическом

виде

y = 2t .

Точка

O

- точка

z = −2 − 2t

пересечения прямой l

и плоскости α. Ее координаты найдем из системы

x = 4 + t

y = 2t

.

z = −2 − 2t

Подставляя x, y

z

x + 2y − 2z +10 = 0

и

из

первых

трех

уравнений

в

четвертое,

получим

4 +t + 4t − 2(− 2 − 2t)+10 = 0, или 9t +18 = 0, откуда t = −2.

Координаты точки

O можно найти, подставляя

это

значение

t в

первые три

уравнения

2 +1

3

системы, тогда точка O (2,−4, 2). Определим координаты вектора

− 4 + 2

=

− 2

M 0O =

.

2 − 2,5

− 0,5

3

6

Вектор M 0M = 2 M 0O ,

M найдем,

поэтому

M 0M = 2

− 2

=

− 4

.

Координаты точки

− 0,5

−1

прибавляя к координатам точки M 0

координаты вектора M 0M . Получим M (5; − 6;1,5 ).

1.7. Кривые и поверхности второго порядка

Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения. Основные характеристики. Эллипс, гипербола, парабола с осями, параллельными осям координат. Поверхности второго порядка. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям. Построение пространственных областей, ограниченных заданными поверхностями.

1.7.1. Кривые второго порядка

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат xOy , то кривая

второго порядка определяется уравнением второй степени
Ax2 + 2Bxy +Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0	(1) ,

где A, B,C, D, E, F — заданные действительные числа. При этом числа A, B, C одновременно не равны нулю. Уравнение (1) называется общим уравнением кривой второго порядка. Если нет точек (x, y) с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (1) , то говорят, что

60