Из определения полярных координат следует, что уравнение ρ = r задает на плоскости

окружность с центром в полюсе и радиусом r , а уравнение ϕ = α задает на плоскости луч,

проходящий через полюс и составляющий с полярной осью угол α, в частности уравнения полярной оси ϕ = 0.

y

y M y

ϕ

O

x

x

Рис. 1.5.8.

Если задать на плоскости прямоугольную декартову систему координат, поместив ее начало в полюс и совместив ось абсцисс с полярной осью, то, как легко видеть из рис. 1.5.8, декартовы координаты x и y выражаются через полярные координаты из соотношений

x = ρcos ϕy = ρsin ϕ

Если каждое уравнение системы возвести в квадрат и сложить их, то получим уравнение

ρ2 = x2 + y2 , из которого по заданным декартовым координатам можно определить полярный радиус.

Задача 1.5.6

Построить кривую, заданную в полярных координатах ρ = ϕ.

Решение

Кривая, заданная уравнением ρ = ϕ, называется спиралью Архимеда.

Таблица 1.5.2

ϕ

0

π

π

3π

2π

2

2

ρ

0

π

π

3π

2π

2

2

На лучах ϕ = 0 , ϕ =

π

, ϕ = π, ϕ =

3π

и ϕ = 2π (последний луч совпадает с полярной осью)

2

2

отложим соответствующие значения ρ. Из уравнения кривой следует, что при увеличении ϕ полярный радиус ρ возрастает. Кривая построена на рис. 1.5.9.

O

x

Рис. 1.5.9.

Задача 1.5.7

Построить кривую, заданную в полярной системе координат ρ = 1+ cos ϕ.

39

Решение			периодическая функция и 1+ cos(ϕ + 2πk )= 1+ cos ϕ для любого целого
Поскольку cos ϕ -
k , то достаточно исследовать функцию при 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
													Таблица 1.5.3
ϕ	0	π		π	3π		π	5π			3π	7π		2π
		4		2	4			4			2	4
ρ	2	1+	2	1	1 −	2	0	1−		2	1	1 +	2	2
			2			2			2				2
							O	x
						Рис. 1.5.10.

Отметим точки (ϕ, ρ) на плоскости в полярной системе координат и построим

соответствующую кривую. Ее вид показан на рисунке 1.5.10. Построенная кривая называется

кардиоидой.

Задача 1.5.8

Построить кривую, заданную уравнением (x2 + y2 )2= x2 − y2 , перейдя к полярным координатам.

Решение

Воспользуемся формулами, связывающими декартовы координаты с полярными координатами

ρ2 = x2 + y2	x = ρcos ϕ
	и	.
	y = ρsin ϕ
Тогда уравнение заданной кривой можно записать в виде

ρ4 = ρ2 cos2 ϕ−ρ2 sin 2 ϕ, или ρ4 = ρ2 (cos2 ϕ−sin 2 ϕ).

Сокращая последнее уравнение на ρ2 и используя формулу cos 2ϕ = cos2 ϕ−sin 2 ϕ, получим

ρ2 = cos 2ϕ , или ρ =

cos 2ϕ .

Поскольку cos 2ϕ - периодическая функция с периодом

2π

= π, то можно построить кривую на

2

промежутке

−

π

≤ ϕ ≤

π

,

длина

которого равна периоду функции, а затем использовать

2

2

периодичность.

На промежутке

−

π

≤ ϕ ≤

π

, функция определена только при cos 2ϕ ≥ 0, что равносильно

2

2

неравенству

−

π

≤ 2ϕ ≤

π

, или −

π

≤ ϕ ≤

π

. Поэтому найдем несколько точек на кривой при ϕ из

4

2

2

4

промежутка

−

π

≤ ϕ ≤

π

и нанесем их на плоскость в полярной системе координат.

4

4

Таблица 1.5.4

ϕ

−

π

0

π

4

4

40