Параметрические и канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямых

Параметрические уравнения прямой

Прямая линия однозначно определена, если на ней задана точка M 0 (x0 , y0 , z0 ) и ненулевой вектор, параллельный этой прямой. В дальнейшем такой вектор будем называть направляющим

		m
											то для любой точки M (x , y , z ),
вектором. Если s = n - направляющий								вектор,
		p
принадлежащей прямой справедливо: s					M 0M . Из определения коллинеарных векторов следует
									x − x0
соотношение M		M = t s			M
	0		. Так как вектор			0	M =		y − y	0	, то последнее равенство равносильно
									z − z0

системе

x − x0	= mt
	= nt
y − y0
	= p t
z − z0

Полученные три уравнения называются

параметром.

x = x0	+ mt
, или y = y0 + nt .
	+ p t
z = z0

параметрическими уравнениями прямой, а t -

Канонические уравнения прямой

Если использовать условие коллинеарности векторов, выраженное через их координаты, то получим уравнения, которые называются каноническими уравнениями прямой:

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.
m		n
				p

Задача 1.6.14

Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точки M (− 2,−3, 4) и

N (2,−3,−1).

Решение

	4
	0
Вектор MN =		параллелен прямой, следовательно, мы можем выбрать его в качестве
	−5

направляющего вектора. Подставляя в канонические уравнения прямой координаты любой из заданных точек, например M , получим систему канонических уравнений прямой

x + 2	=	y + 3	=	z − 4
					.
4		0		−5

ЗАМЕЧАНИЕ

Следует заметить, что канонические и параметрические уравнения прямой выглядят различно, в зависимости от того, координаты какой точки в них подставлены вместо чисел x0 , y0 и z0 . Кроме того,

в данной задаче одна из координат направляющего вектора равна нулю, а это означает, что один из знаменателей в канонических уравнениях равен нулю. Такая запись для канонических уравнений прямой

54

считается вполне допустимой. Чтобы понять, как в данном случае расположена в пространстве прямая, перейдем к параметрическим уравнениям. Для этого каждое из трех равных отношений обозначим через t и получим

x + 2	= 4 t	x = 4t − 2
	= 0 t , или		y = −3 . Из последних уравнений ясно, что заданная прямая лежит в
y +3
z − 4 = −5 t		z = −5t + 4

плоскости y = −3 .

Задача 1.6.15

Составьте параметрические уравнения медианы, проведенной из вершины A в треугольнике ABC , если заданы координаты его вершин A(1, 4,−1), B (− 2, − 2,5) и C (3,1,−2).

Решение

На медиане	AM задана точка A (рис. 1.6.9). Направляющим	вектором	для нее может
				−3
	AD = AB + AC (рис. 8). Вычислим координаты			− 6
являться вектор		векторов	AB =		и
				6

	2			−1
				−9
AC =	−3 ,	а также вектора AD =			. Подставим в параметрические уравнения прямой
				5
	−1
x = x0 + mt
		вместо m, n, p координаты вектора s = AD , а вместо x0 , y0 , z0 - координаты точки
y = y0 + nt
	+ p t
z = z0
		x =1	−t
A . Получим y = 4 −9t .
			+5t
		z = −1

A

C

M

B

D

Рис. 1.6.9.

Угол между прямыми

		m1
Пусть	s1	= n1		и
		p
			1

s2	m2
	= n	2	- направляющие векторы двух прямых. Угол α	между прямыми
	p2

определяется как угол между их направляющими векторами. Для косинуса этого угла справедлива формула:

55

, s2

s1

m1m2 + n1n2

+ p1 p2

cos α =

=

.

s1

s2

m12 + n12 + p12 m12 + n12 + p12

Условие перпендикулярности прямых

s1 , s2 = 0 или m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0.

Условие параллельности прямых

s 1		s2	или	m1	=	n1	=	p1	.
				m2		n2		p2

Условия пересечения прямых в пространстве

		m					m	2
			1							M1(x1, y1, z1 ) и
Если s1		= n1			и s2		= n2		- направляющие векторы двух прямых, а
		p					p	2
			1

M 2 (x2 , y2 , z2 ) - точки на этих прямых, то прямые пересекаются или скрещиваются в зависимости от того, компланарны или нет векторы s1, s2 и M1M 2 (рис.9).

Прямые скрещиваются, если смешанное произведение s1 s2 M1M 2 ≠ 0 (рис.1.6.10 a).

Прямые пересекаются, если смешанное произведение s1 s2 M1M 2 = 0 (рис.1.6.10 b).

M 1

M 2

s2

Рис. 1.6.10 a.

s 1

s1 M 1

s 2

M 2

Рис. 1.6.10.b

Задача 1.6.16

При каком значении l прямые

x + 2

=

y

=

z −1

и

x −3

=

y −1

=

z − 7

пересекаются?

2

− 3

l

4

4

2

Решение

		2
Для первой прямой: направляющий вектор s1		−3		M1(− 2, 0,1). Для второй
	=		и точка
		4

		l
прямой: направляющий вектор s2		4		M 2 (3,1, 7). Вычислим координаты вектора
	=		и точка
		2
			56