В частном случае, числовая ось представляет собой пространство размерности 1. Если на плоскости выбрать систему координат (или начало отсчёта, от которого откладываются все векторы), то она превращается в пространство размерности 2. Пространство геометрических тел имеет размерность, равную 3, а пространство-время специальной теории относительности – 4.

1.3.4. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису

				x
					1
Координаты x , x ,..., x		v	=	x			Rn	– это координаты его в некотором
		любого вектора x			2
1 2	n			...
				x
					n

заданной базисе ev1, ev2,..., evn , то есть xv = x1ev1 + x2ev2 +... + xnevn .

Требуется найти координаты вектора x в новом базисе ev1′, ev2′,..., evn′ , и заданы координаты

e11

ev1′, ev2′,..., evn′ в старом базисе ev1, ev2,..., evn : ev1′ = e21 ,

e...

n1

e12

ev2′ = e22

...

en2

,…, evn′

e1n = e2n

e...

nn

, то следует

	e		e			...		e
		11		12				1n
составить матрицу перехода	e21		e22			...		e2n		, поставив координаты векторов нового
	H =					...		...
	... ...
	e		e			...		e
		n1		n2				nn
				x′
					1
базиса в ее столбцы. Тогда	вектор	v		x2′			с	координатами x1′, x2′ ,..., xn′ в новом базисе
		x′ =		...
					′
				xn

определяется из матричного уравнения x = H x′, решение которого при невырожденной матрице

v′

= H

−1

r

H имеет вид: x

x .

Задача 1.3.4

− 2

1

−2

−1

r

v

v

v

Разложить вектор x

= 3

по базису векторов: e1′ = 2

, e2′

=

0

и e3′

=

1 .

1

−1

3

−1

Решение

1

− 2

−1

Матрица

перехода

будет

иметь вид: H = 2

0

1 .

Обратная

к

ней матрица:

−1

3

−1

1

−3

−5

−2

H −1 = −

1

− 2

−3

. Тогда вектор в новом базисе имеет вид:

11

6

−1

4

17

				1			−3		−5	−2			−2			1				−11 1
v	−1	v																									v	v		v
x′ = H		x	= −					1	− 2	−3			3		= −					−11	= 1 . Это значит, что x							= e1′+e2′		+e3′.
				11												11
								6	−1	4			1
																				−11 1
																					1		0	...	0
																						0	1	...	0
																											, то	v	x = x .
Если матрицей перехода является единичная матрица E =																							...	...				x′ = E
																					...				...
																						0	0	...	1

1

Это означает, что координаты вектора xv Rn не меняются при переходе к базису ev1′ = 0 ,

...0

0

ev2′ = 1 ,…, evn′...0

0

=0 . Этот базис называют каноническим.

...1

1.3.5. Евклидово пространство. Скалярное произведение и норма вектора в линейном пространстве. Ортонормированный базис. Длина и направляющие косинусы вектора в пространстве R3 .

Определение 1.3.8

Линейное пространство называется евклидовым, если любым двум его элементам x и y ставится в соответствие вещественное число, которое обозначается (x, y) и называется скалярным произведением и которое подчинено следующим аксиомам:

•(x, y)= (y, x);

•(x + z, y)= (x, z)+ (y, z), где z – элемент линейного пространства;

•(λx, y)= λ(x, y), где λ – вещественное число;

•(x, x)≥ 0 , (x, x)= 0 , если x – нулевой элемент.

Примером евклидова пространства является n	– мерное		векторное				пространство Rn , в
		x					y
		1						1
котором скалярное произведение двух векторов	r	x2		и	r		y2			определяется
	x	=			y	=
		...					...
		x					y	n
		n

соотношением:

(xr, y) = ∑n xi yi = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn .

i =1

Несложно проверить, что введенное таким образом скалярное произведение удовлетворяет всем четырем аксиомам.

18

Определение 1.3.9

Нормой элемента x в линейном пространстве называется вещественное число x , которое ставится в соответствие этому элементу и которое подчинено следующим аксиомам:

•x ≥ 0 , x = 0 , если x – нулевой элемент;

•λx = λ x , где λ – вещественное число;

•x + y ≤ x + y (неравенство Минковского), где y элемент линейного пространства.

Если линейное пространство является евклидовом, то определенная равенством x = (x, x)

норма удовлетворяет всем требуемым аксиомам.

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Если в евклидовом пространстве введена норма, то оно называется нормированным.

В конечномерном векторном пространстве Rn норма вектора xr

n

соотношением: x = (x, x)= ∑xi2 = x12 + x22 +... + xn2 . Норма i=1

x
1
x2		определяется
=
...
x
n
			r	x
вектора
			a	= y
				z

пространства R3 , которая выражается через координаты вектора по формуле: ar = x2 + y2 + z2 равна длине направленного отрезка, являющегося изображением вектора.

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Норму вектора пространства R3 чаще называют модулем или длиной вектора. Для модуля вектора ar используют обозначение: ar .

ЗАМЕЧАНИЕ 3

Если норма элемента (вектора) евклидова пространства x =1 , то он называется нормированным.

Задача 1.3.5

r		1		r		− 2
		− 2				4		R3 равно:
Скалярное произведение векторов x	=		и	y	=		пространства
	3				− 2

0

2

3

1

r

r

(− 2)−

2 4 +3 (− 2)= −16

r

=

r

=

(x

, y)=1

. Скалярное произведение векторов x

− 4

и y

−1

−1

− 2

равно: (xr, yr)= 0 2 + 3 1 − 4 (−1)−1 (− 2)= 9 .

пространства R4

19

Задача 1.3.6

2

Норма

вектора

xr

= −3

пространства R3

равна:

x

=

22 + (−3)2 + 42 =

29 .

Норма

−1

4

0

r

пространства R4

равна:

x

=

(−1)2 + 0 +12 + 42 = 3

2 .

вектора x

=

1

4

Определение 1.3.10

Два

элемента

евклидова

пространства x и y называются ортогональными,

если

их

скалярное произведение (x, y) равно нулю.

r

=

1

r

0

(i , j )= 0 .

Например, векторы i

и j

=

ортогональны, так как

0

1

Определение 1.3.11

Базис векторов

e , e ,..., e

n – мерного векторного евклидова пространства R n

называется

1

2

n

ортонормированным, если:

(eri , erj )= 0, i ≠ j .

1, i = j

Ортонормированным

базисом

пространства

R n

является

базис

векторов

1

0

0

0

1

0

r

r

r

e1

= , e2 = , en

= .

...

...

...

0

0

1

r

1

r

0

r

0

В пространстве R3

0

1

0

ортонормированным базисом являются векторы i

=

,

j

=

k

=

.

0

0

1

Ориентация вектора (направленного отрезка) в пространстве R3 определяется углами α, β, γ , которые он образует с координатными осями Ox, Oy, Oz соответственно (рис. 1.3.5).

1.3.6. Проекция вектора на числовую ось. Декартова система координат. Линейные операции над векторами в R3 .

Рассмотрим числовую ось Ox и вектор (направленный отрезок) AB (рис. 1.3.1). Проекцией вектора на числовую ось называют длину отрезка этой оси между проекциями конечной и начальной точек вектора на ось, если вектор и ось направлены в одну сторону. Если вектор и ось направлены в разные стороны, то проекцией вектора на ось называется длина отрезка оси между проекциями конечной и начальной точек вектора, взятая со знаком минус (рис. 1.3.1).

20

координаты вектора.

Для векторов из пространства

B B

A A

_____

O 123

_____

x O 123

ПрOx AB >0

ПрOx AB <0

Рис. 1.3.1.

В трехмерном пространствеR3 , являющемся частным случаем конечномерного векторного пространства Rn , введем прямоугольную декартову систему координат.

r		1		r		0		r		0
		0				1				0
Для этого векторы i	=		,	j	=			и k	=		, образующие в пространстве R3 базис,
		0				0				1

изобразим взаимно перпендикулярными отрезками единичной длины, направленными вдоль координатных осей Ox, Oy, Oz соответственно. Тогда вектор a = xir+ yrj + zk пространства R3 ,

разложенный по этому базису, можно изображать отрезком OM с началом в начале координат и с концом в точке M (x, y, z) (рис.1.3.2). Координаты вектора a в такой системе координат являются

проекциями OM или точки M на координатные оси.

z

	zi		M
		r
		a
	k
i	O	j	yj
				y
xi

x

Рис.1.3.2.

ЗАМЕЧАНИЕ

R3 часто используют обозначение: a = {x; y; z}, где x, y, z -

Начало направленного отрезка, являющегося изображением вектора ar может параллельным переносом помещаться в любую точку пространства. Проекции вектора на координатные оси при этом не изменятся. Если начало направленного отрезка в точке A(x1; y1; z1), а конец в точке B(x2; y2; z2 ), то соответствующий вектор ar = AB = {x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1}(рис. 1.3.3)

z z2

z1 A B

O	y1	y2
x1		y

x2

x

Рис. 1.3.3.

21

В следующей таблице собраны формулы для нахождения координат линейных операций над

векторами трехмерного пространства R3 .

Сложение

r

x

x

x

+ x

ar

1

2

1

2

+b

= y1

+ y2

= y1 + y2

.

z

z

2

z

+ z

2

1

1

Вычитание

r

x

x

x

− x

2

ar

1

2

1

−b

= y1 − y2

= y1 − y2

z

z

2

z

− z

2

1

1

Умножение на число

r

x

λx

1

1

λa = λ y1

=

λ y1

.

z

λz

1

1

r
a	r	+b				b	r
	a			a
				r
		r			r	r
		b
					a	+b
				r
				a	r
			r		b
				r	−
		b		a
				λ a		λ ar
λ < 0 O					r	λ > 0
					a

a O

Базис в пространстве R 3 образуют любые три линейно независимых (некомпланарных) вектора.

Тройка некомпланарных векторов называется правой (базисом с правой ориентацией), если из конца третьего вектора вращение от первого к второму происходит против часовой стрелки.

Если из конца третьего вектора вращение от первого к второму происходит по часовой стрелке, то тройка некомпланарных векторов называется левой (базисом в правой ориентацией)

На рисунке 1.3.4 a тройка векторов ar, b, cr – правая, а на рисунке 1.3.4 b – левая.

c c

	b		a
		a	b
Рис. 1.3.4 a.			Рис. 1.3.4 b.

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Из рисунка 1.3.3 ясно, что тройка векторов i , j, k правая, а показанная на этом рисунке система

координат (поворот от одной оси к последующей, от Ox к Oy , от Oy к Oz и от Oz к Ox . происходит против часовой стрелки) задает правую ориентацию пространства.

z
	r
	a
	γ
	β
O	y
	α

x

22