Из уравнения ясно, что поверхность симметрична относительно координатных осей. При сечении поверхности плоскостями z = ±h получаются эллипсы

x2	+	y2	=	h2	x2		+	y2		=1
				или
						2			2
a2		b2		c2	a2	h		b2	h
						c2			c2

с полуосями ahc и bhc .

Если же пересекать поверхность плоскостями x = ±h или y = ±h , то в сечении получим гиперболы

z

2

y2

h2

z 2

x2

h2

−

=

−

=

.

c

2

b

2

a

2

2

a

2

b

2

c

Если ее пересекать плоскостями y = ±hx , то в сечении получим пару пересекающихся прямых

z = ±cx(1/ a2 )+ (h2 / b2 ).

Уравнению удовлетворяет точка (0,0,0), следовательно, поверхность проходит через начало координат. Вид поверхности показан на рисунке 1.7.14.

z

O

y

x

Рис. 1.7.14.

Цилиндры второго порядка

Определение 1.7.3

Поверхность, описываемая прямой, параллельной некоторому заданному направлению и пересекающей данную линию L, называется цилиндрической. При этом движущаяся прямая называется образующей, а прямая L - направляющей цилиндра.

Если образующая цилиндра параллельна какой-то из координатных осей, то цилиндрическая поверхность задается уравнением второго порядка с двумя переменными:

F(x, y)= 0 , образующая параллельна оси Oz ;

F(x, z)= 0 , образующая параллельна оси Oy ;

F(y, z)= 0 , образующая параллельна оси Ox .

Эллиптический цилиндр

		x2		y2			(a,b > 0) .
			+			=1
		a2		b2
Уравнение	не содержит переменной			z , следовательно, цилиндр параллелен оси Oz .
Направляющей	цилиндра на плоскости				xOy		является эллипс с полуосями a и b .
					75

Цилиндрическая поверхность, описанная прямой, параллельной оси Oz , и пересекающей эллипс

	x2	+	y2	=1	, построена на рисунке 1.7.15.
	a2		b2

z

O	y
x

					Рис. 1.7.15.
	Гиперболический и параболический цилиндры
		x2	−	y2	=1 (a,b > 0) и y2	= 2 px ( p > 0) .
		a2
				b2
	В данном случае направляющими линиями поверхностей являются гипербола						x2	−	y2	=1 и
							a2		b2

парабола y2 = 2 px , а образующими — прямые, параллельные оси	Oz и проходящие через
гиперболу или параболу в плоскости xOy . Поверхности изображены на	рисунках 1.7.16 и 1.7.17.

z		z
O	y	O	y
x
		x
Рис. 1.7.16.		Рис. 1.7.17.

76

концом в точке

Если коллинеарны два ненулевых вектора,

то

их координаты пропорциональны, т.е. для

x

x

коллинеарных векторов a =

1

2

y1

,

b = y2

условие коллинеарности принимает вид:

z

z

2

1

x1

=

y1

=

z1

.

x

y

2

z

2

2

Задача 1.3.1

		r		p		r
Выясните, при каких значениях	p и q			1
		векторы a	=		и b
				− 2

2

=q коллинеарны.

−1

Решение

Из условия коллинеарности векторов следует

p

=

1

=

− 2

= 2 или

p

= 2,

1

= 2 а тогда

2

q

−1

2

q

p = 4, q =

1

.

2

1.3.4. Проекция вектора на числовую ось. Декартова система координат. Линейные операции над векторами в R3 .

Рассмотрим числовую ось Ox и вектор (направленный отрезок) AB (рис. 1.3.1). Проекцией вектора на числовую ось называют длину отрезка этой оси между проекциями конечной и начальной точек вектора на ось, если вектор и ось направлены в одну сторону. Если вектор и ось направлены в разные стороны, то проекцией вектора на ось называется длина отрезка оси между проекциями конечной и начальной точек вектора, взятая со знаком минус (рис. 1.3.1).

B B

A A

_____

O 123

_____

x O 123

ПрOx AB >0

ПрOx AB <0

Рис. 1.3.1.

В трехмерном пространствеR3 , являющемся частным случаем конечномерного векторного пространства Rn , введем прямоугольную декартову систему координат.

r		1		r		0		r		0
		0				1				0
Для этого векторы i	=		,	j	=			и k	=		, образующие в пространстве R3 базис,
		0				0				1

изобразим взаимно перпендикулярными отрезками единичной длины, направленными вдоль координатных осей Ox, Oy, Oz соответственно. Тогда вектор a = xir+ yrj + zk пространства R3 ,

разложенный по этому базису, можно изображать отрезком OM с началом в начале координат и с M (x, y, z) (рис.1.3.2). Координаты вектора a в такой системе координат являются

проекциями OM или точки M на координатные оси.

77

z

	zi	M
		r
		a
	k
i	O	j	yj
				y
xiv
x
		Рис.1.3.2.
ЗАМЕЧАНИЕ
Для векторов из пространства R3 часто используют			обозначение: a = {x; y; z}, где x, y, z -

координаты вектора.

Начало направленного отрезка, являющегося изображением вектора a может параллельным переносом помещаться в любую точку пространства. Проекции вектора на координатные оси при этом не изменятся. Если начало направленного отрезка в точке A(x1; y1; z1), а конец в точке B(x2; y2; z2 ), то соответствующий вектор ar = AB = {x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1}(рис. 1.3.3)

z z2

z1 A B

O	y1	y2
x1		y

x2

x

Рис. 1.3.3.

В следующей таблице собраны формулы для нахождения координат линейных операций над

векторами трехмерного пространства R3 .

Сложение

r

x

x

x

+ x

ar

1

2

1

2

+b

= y1

+ y2

= y1 + y2

.

z

z

2

z

+ z

2

1

1

Вычитание

r

x

x

x

− x

2

ar

1

2

1

−b

= y1

− y2

= y1 − y2

z

z

2

z

− z

2

1

1

r
a	r	+b				b	r
	a			a
				r
		r			r	r
		b
					a	+b
				r
				a	r
			r		b
				r	−
		b		a

78

Умножение на число

λ ar

λ ar

r

x

λ x

1

1

λa

= λ y1

=

λ y1

.

λ < 0

O

r λ > 0

z1

λ z1

a

a

O

Базис в пространстве

R 3

образуют

любые три линейно независимых

(некомпланарных)

вектора.

Тройка некомпланарных векторов называется правой (базисом с правой ориентацией), если из конца третьего вектора вращение от первого к второму происходит против часовой стрелки.

Если из конца третьего вектора вращение от первого к второму происходит по часовой стрелке, то тройка некомпланарных векторов называется левой (базисом в правой ориентацией)

На рисунке 1.3.4 a тройка векторов ar, b, cr – правая, а на рисунке 1.3.4 b – левая.

c c

b	a
a	b
Рис. 1.3.4 a.	Рис. 1.3.4 b.
ЗАМЕЧАНИЕ 1
Из рисунка 1.3.3 ясно, что тройка векторов i , j, k	правая, а показанная на этом рисунке система
координат (поворот от одной оси к последующей,	от Ox к Oy , от Oy к Oz и от Oz к Ox .

происходит против часовой стрелки) задает правую ориентацию пространства.

79