Вычисление случайных погрешностей при измерениях

Пусть при измерениях систематические погрешности пренебрежимо малы. Рассмотрим случай, когда измерение проведено большое число раз (n→∞).

Как показывает опыт, отклонение результатов измерений от их среднего значения в большую или меньшую сторону одинаковы. Результаты измерений с малым отклонением от среднего значения наблюдается значительно чаще, чем с большими отклонениями.

Расположим все численные значения результатов измерений в ряд в порядке их возрастания и разделим этот ряд на равные интервалы. Пусть– число измерений с результатом, попавшим в интервал []. Величинаесть вероятность ΔP_i(х) получения результата со значением в интервале [].

Графически представим , соответствующее каждому интервалу [] (рис.1). Изображенная на рис.1 ступенчатая кривая называется гистограммой. Допустим, что измерительный прибор обладает чрезвычайно высокой чувствительностью. Тогда ширину интервала можно сделать бесконечно малой величинойdx. Ступенчатая кривая в этом случае заменяется кривой, представляемой функцией φ(х) (рис.2). Функцию φ(х) принято называть функцией плотности распределения. Её смысл состоит в том, что произведение φ(х)dx есть вероятность dP(x) получения результатов со значением в интервале от х до х+dх. Графически значение вероятности представляется в виде площади заштрихованного прямоугольника. Аналитически функция плотности распределения записывается следующим образом:

. (5)

Представленную в виде (5) функцию φ(х) называют функцией Гаусса, а соответствующее распределение результатов измерений Гауссовым или нормальным.

рис.1

Параметры иσ имеют следующий смысл (рис.2).

–среднее значение результатов измерений. При =функция Гаусса достигает максимального значения. Если число измерений бесконечно велико, торавно истинному значению измеряемой величины.

σ – характеризует степень разброса результатов измерения от их среднего значения. Параметр σ вычисляется по формуле:

. (6)

Этот параметр представляет собой среднеквадратичную погрешность. Величину σ² в теории вероятностей называют дисперсией функции φ(х).

Чем выше точность измерений, тем ближе располагаются результаты измерений к истинному значению измеряемой величины, и, следовательно, меньше σ.

Вид функции φ(х), очевидно, не зависит от числа измерений.

В теории вероятностей показано, что 68% всех измерений дадут результат, который располагается в интервале , 95% – в интервале [] и 99,7% в интервале [].

рис.2

Таким образом, с вероятностью (надёжностью) 68% величина отклонения результата измерения от среднего значения лежит в интервале [], с вероятностью (надёжностью) 95% – в интервале [] и с вероятностью (надежностью) 99,7% – в интервале [].

Интервал, соответствующий той или иной вероятности отклонения от среднего значения, называется доверительным.

В реальных экспериментах число измерений, очевидно, не может быть бесконечно большим, поэтому маловероятно, чтобы совпало с истинным значением измеряемой величины. В связи с этим важно оценить на основе теории вероятностей величину возможного отклоненияот.

Расчеты показывают, что при числе измерений более 20 с вероятностью 68% попадает в доверительный интервал [], с вероятностью 95% – в интервале[], с вероятностью 99,7% – в интервале [].

Величина , определяющая границы доверительного интервала, называется стандартным отклонением или просто – стандартом.

Стандарт вычисляется по формуле:

. (7)

С учетом формулы (6), выражение (7) приобретает следующий вид:

. (8)

Чем больше число измерений n, тем ближе Х располагается к . Если число измерений не велико меньше 15, то вместо распределения Гаусса используют распределение Стьюдента, которое приводит к увеличению ширины доверительного интервала возможного отклонения Х отвt_n,p раз.

Сомножитель t_n,p называется коэффициентом Стьюдента. Индексы Р и n указывают, с какой надежностью и какому числу измерений соответствует коэффициент Стьюдента. Величина коэффициента Стьюдента для данного числа измерений и заданной надежности определяется по таблице 1.

Таблица 1

Коэффициент Стьюдента.

Число измерений n	Надежность Р,%
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,999
2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 40 60 120 ∞	1,00 0,82 0,77 0,74 0,73 0,72 0,71 0,71 0,70 0,69 0,69 0,68 0,68 0,68 0,67	1,38 1,06 0,98 0,94 0,92 0,90 0,90 0,90 0,88 0,87 0,86 0,85 0,85 0,85 0,84	2,0 1,3 1,3 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,0 1,0 1,0	3,1 1,9 1,6 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3	6,3 2,9 2,1 2,1 2,0 1,9 1,9 1,9 1,8 1,8 1,7 1,7 1,7 1,7 1,6	12,7 4,3 3,2 2,8 2,6 2,4 2,4 2,3 2,3 2,1 2,1 2,0 2,0 2,0 2,0	31,8 7,0 4,5 3,7 3,4 3,1 3,0 2,9 2,8 2,6 2,5 2,4 2,4 2,4 2,3	36,6 31,6 12,9 8,6 6,9 6,0 5,4 5,0 4,8 4,1 3,9 3,6 3,5 3,4 3,3

Например, при заданной надежности 95% и числе измерений n=20 коэффициент Стьюдента t_20,95=2,1 (доверительный интервал ) при числе измеренийn=4, t_4,95=3,2 (доверительный интервал ). То есть, при увеличении числа измерений с 4 до 20 возможное отклонениеотX уменьшается в 1,524 раза.

Таким образом, чтобы рассчитать абсолютную случайную погрешность необходимо:

1. Провести несколько измерений.

2. Найти средний арифметический результат измерений.

3. Вычислить по формуле (8) стандартное отклонение.

4. По таблице найти для заданной надежности коэффициент Стьюдента. Величина t_n,p S_m есть абсолютная погрешность в определении Х.

5. Результат записать в виде Х=(с надежностью Р).

Ниже приводится пример расчета абсолютной случайной погрешности

№	Хi	Хi – <X>	(Хi – <X>)^2
1 2 3 4 5 6	20,2 19,6 19,9 20,4 20,2 20,3	-0.1 +0.5 +0.2 -0.3 -0.1 -0.2	0.01 0.25 0.04 0.09 0.01 0.04
∑	120,6		0,44

По формуле (2) находим среднее значение измеряемой величины (без указания размерности физической величины)

.

По формуле (8) вычисляем величину стандартного отклонения

.

Коэффициент Стьюдента, определенный для n=6, и Р=95%, t_6,95=2,6 окончательный результат:

Х=20,1±2,6·0,121=20,1±0,315 (с Р=95%).

Вычисляем относительную погрешность:

.

При записи окончательного результата измерений нужно иметь в виду, что погрешность должна содержать только одну значащую цифру (отличную от нуля). Две значащие цифры в погрешности записываются лишь в том случае, если предпоследняя цифра 1. Большее число значащих цифр записывать бесполезно, поскольку они будут не достоверны. В записи среднего значения измеряемой величины последняя цифра должна принадлежать тому же разряду, что и последняя цифра в записи погрешности.

Примеры:

Х=531±2;

Х=(243±5)·10²;

Х=232,567±0,003.

При проведении нескольких измерений может получится один и тот же результат. Это возможно в том случае, если чувствительность измерительного прибора низкая. Когда измерение производится прибором с низкой чувствительностью достаточно и однократного измерения. Не имеет смысла, например, многократно измерять длину стола рулеткой с сантиметровыми делениями. Результат измерения в этом случае будет один и тот же. Погрешность при проведении однократного измерения определяется ценой наименьшего деления прибора. Она называется приборной погрешностью. Её значение вычисляется по следующей формуле:

, (10)

где γ – цена деления прибора;

t_∞,p – коэффициент Стьюдента, соответствующий бесконечно большому числу измерений.

С учетом приборной погрешности, абсолютная погрешность с заданной надежностью определяется по формуле:

, (11)

где .

С учетом формул (8) и (10), (11) записывается так:

. (12)

В литературе для сокращения записи величину погрешности иногда не указывают. Предполагается, что величина погрешности составляет половину единицы последней значащей цифры. Так, например, величина радиуса Земли записана в виде м. Это означает, что в качестве погрешности следует взять величину, равную ±м.