Формула Планка
В 1900г. Планку удалось найти вид функции f(,Т) в точности соответствующей опытным данным. Он сделал предположение, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:
(15)
Коэффициент
получил название постоянной Планка.
Определённое из опыта значение равно:
=1,054·10-34Дж
с.
Если излучение
испускается порциями
,
то его
энергия должна быть кратна этой величине:
(n=0,1,2,3,…)
Согласно закону Больцмана, вероятность Pn того, что энергия излучения имеет величину εn, определяется выражением:
(16)
Множитель А в (16) можно найти, исходя из условия,
(17)
Найдя А из (17) и подставив в (16) получим:
(18)
Предположим, что мы имеем возможность измерить значение энергии . В процессе измерений энергия может принимать значение равные 1, 2, 3, …,n. Проведя очень большое число таких измерений N, получим, что энергия
N1 раз приняла значение 1;
N2 раз приняла значение 2;
N3 раз приняла значение 3;
Nn раз приняла значение n;
Заметим, что при очень больших N
,
где N=N1+N2+N3+…+Nn
Среднее значение энергии будет равно:
.
Если записать с учётом (18) то получим
.
(19)
Введём обозначение
и допустим, что величинаX
принимает непрерывный ряд значений.
Тогда выражение (19) можно переписать в
виде
.
(20)
Легко заметить,
что в (20) под знаком ln
стоит геометрическая прогрессия со
знаменателем равным exp=(-X).
Сумма этой прогрессии равна
.
Подставив это значение суммы в (20) и
выполнив дифференцирование, получим:
.
Заменяя X
его значения
,
получим выражение для средней энергии
излучения частоты :
.
(21)
Формула (21) позволила Планку найти вид функции f(,Т). Заменив в формуле (14) kТ на , получим формулу найденную Планком:
.
(22)
Эта формула точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до . Теоретический вывод этой формулы М.Планк изложил 14 декабря 1900г. на заседании Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.
В предельных
случаях
1
и
1.
формула Планка упрощается.
В первом случае,
когда
1,
в знаменателе (22) можно написать
и тогда получим:
,
т.е. формулу Релея–Джинса.
Отсюда следует, что существуют условия (малые частоты, высокие температуры), при которых оказываются справедливыми представления классической теории.
В другом предельном
случае, когда
1,
в знаменателе формулы (22) можно отбросить
единицу и тогда получим:
.
Это выражение носит название формулы Вина. Из выражения Вина видно, что средняя энергия излучения при больших частотах очень мала. Именно это обстоятельство, не учитываемое в классической теории, обуславливает конечную энергию, несмотря на конечное число степеней свободы излучателя. Из (22) можно получить законы Стефана–Больцмана и закон смещения Вина. Для энергетической светимости абсолютно чёрного тела получается выражение:
.
Введём безразмерную величину
,
тогда
,
и формула для R примет вид:
,
где
.
Подставив это значение интеграла в выражение для R, мы придём к закону Стефана–Больцмана:
,
где
В заключении получим закон смещения Вина. Для этого перейдём от функции f(,Т) к f(,Т) по формуле
или
.
Дифференцируя f(,Т) по и приравнивая получившееся выражение нулю, находим значение , при котором f(,Т) достигает максимума
.
Обозначив
,
получим
уравнение
.
Решение его даёт
X=4,965.
Следовательно,
откуда
рис.4
Таким образом, формула Планка даёт исчерпывающее описание равновесного теплового излучения. Излучение нечёрных тел имеет селективный характер, т.е. отдельные спектральные области излучаются нечёрными телами особенно сильно. В качестве примера сравним распределение энергии излучения чёрного тела с распределением в спектре, излучаемом вольфрамом. Из рис.4 видно, что излучательная способность вольфрама (кривая I) оказалась меньше, чем излучательная способность абсолютно черного тела (кривая II). Таким образом, применение законов теплового излучения абсолютно чёрного тела к реальным (нечёрным) телам нуждается в соответствующих поправках.