3. Схема экспериментальной установки

На рис.4 изображена одна из возможных схем для определения функции U_c=f(t) при зарядке и разрядке конденсатора.

Конденсатор С начинает заряжаться с момента включения в цепь ЭДС ключом K₁ (ключ K₁ в положение е).

Изменение с течением времени разности потенциалов U на обкладках конденсатора фиксируется с помощью вольтметра V₂, который должен быть заранее подсоединен к обкладкам конденсатора (положение α₂ ключа K₂). Время отсчитывается по секундомеру.

Схема рис.4 отличается от схемы рис.1 тем,, что параллельно емкости С включается вольтметр сопротивление, которого r_v. Эквивалентная схема для случая показана на рис.5.

Подключение вольтметра, как и всякого измерительного прибора, влияет на измеряемую величину. В данном случае изменяется постоянная времени цепи. Постоянную времени для схемы рис.5 можно определить, применяя к ней закон Кирхгофа.

Тогда

, (15)

где

рис.4 рис.5

Из уравнения (15) получаем:

или

или (16)

уравнение (16) дифференциальное.

Напряжение на конденсаторе в общем случае складывается из напряжения, существующего до начала зарядки, и напряжения , изменение которого обусловлено апериодическим законом перехода цепи из начального установившегося режима в конечный установившийся режим.

Поэтому решение уравнения (16) запишем в виде:

, (17)

где А – некоторая постоянная;

х – корень характеристического уравнения.

Сразу после замыкания цепи, т.е. в момент включения (t=0), на зажимах конденсатора установится напряжение, , величина которого определяется делителем напряжения, образованного сопротивлениями R_x и r_v. С другой стороны, конденсатор в тот же момент времени заряжен не был, т.е.

. (18)

Подставляя в (17) для будем иметь

.

Откуда определяется значение постоянной

. (19)

Учитывая, что характеристическое уравнение дифференциального уравнения (16) имеет один корень

(20)

окончательно запишем уравнение (17) в виде:

(21)

где . (22)

Приведенный анализ доказывает: чтобы точнее измерить сопротивление R_x, необходимо выбрать вольтметр с сопротивлением r_v ≥ R_x. При r_v → ∞ и τ^’→ τ схема рис.5 в точности соответствует схеме рис.1 и при конечных значениях r_v и τ^’< τ процесс зарядки конденсатора протекает быстрее (рис.6) Известно, что относительная ошибка измерения δ тем больше, чем меньше абсолютная величина искомого параметра.

т.к. , то и, следовательно,

, (23)

Как правило, в распоряжении экспериментатора имеются емкости не слишком большие по величине, измеренные с точностью до 1–5%.

Измерение времени производится секундомером, с точностью до 0,02с. Поэтому, чтобы определить сопротивление с точностью не ниже заданной точности измерения C, нужно, чтобы постоянная времени была порядка десятков секунд. Для этого достаточно взять либо большое сопротивление, либо большую емкость. В практике измерительных лабораторий конденсаторы больших емкостей не применяются. Поэтому рассматриваемый метод измерения сопротивления с помощью разрядки или зарядки конденсатора ограничивает область измеряемых сопротивлений, R со стороны малых сопротивлений.

рис.6

Пример:

Пусть из требования к точности измерения сопротивления следует,

что τ≥10 с, емкость С=10 мкФ тогда Ом.

Следовательно, с заданной точностью могут быть определены только сопротивления, величина которых больше, чем 1 МОм. С другой стороны как было показано выше, вольтметр (r_v в схеме рис.5) должен иметь сопротивление много больше, чем R_x, ибо вольтметр искажает апериодический процесс в цепи (см. уравнение (21) и рис.6). Поэтому обычные вольтметры не пригодны для установки в схему рис.4, т.к. для них r_v<<R_x. Поэтому в схеме рис.4 применен электростатический вольтметр, внутреннее сопротивление которого практически бесконечно. Функцию U_p=f(t) разряда конденсатора можно найти по схеме рис.4. Для экспериментального определения U_p=f(t) достаточно зарядить конденсатор, желательно до U=U₀ = ε (показания вольтметров V₁ и V₂ совпадают) а затем ключ K₁ перевести из положения е в положение α₁.

Через сопротивление R_x будет протекать ток вследствие наличия разности потенциалов на обкладках конденсатора до тех пор, пока эта разность не окажется равной нулю.