Вычисление погрешностей косвенных измерений

Обычно приходится вычислять искомую величину по результатам измерения других величин. Так, для определения плотности чаще всего измеряют массу тела m и его объем V, а величину плотности ρ вычисляют:

.

Такие измерения называются косвенными. Вычисления ошибок косвенных измерений, также как и для прямых измерений, производится на основе теории вероятностей.

Пусть искомая величина есть функция многих переменных:

, (13)

где a,b,c – величины, значения которых определяются путем прямых измерений;

<a>,<b>,<c> – среднее значение этих величин;

Δa, Δb, Δc – абсолютные погрешности, вычисленные с заданной надежностью.

Для нахождения интервала значений, внутри которого находится величина Х, поступают следующим образом:

1. Используя <a>,<b>,<c> находят <Х>.

2. Логарифмируют X=f (a,b,c)

.

3. Находят частные производные по a,b,c от lnХ

.

Все производные вычисляют при значениях a=<a>, b=<b>, c=<c>.

4. Вычисляют погрешность в определении Х

.

Погрешность определена с той же надежностью, что и Δa ,Δb, Δc.

5. Окончательный результат записывается в виде:

.

В таблице 2 приведены некоторые формулы для вычисления погрешностей косвенных измерений.

Пример. Найти абсолютную случайную погрешность при вычислении кинетической энергии. Тело массой m, двигаясь равноускоренно, из состояния покоя за время t прошло путь S. Поскольку скорость V в конце пути , то кинетическая энергия вычисляется по формуле:

Измерение проведено несколько раз и определены средние значения массы, пути и времени (<m>,<S>,<t>). Абсолютные погрешности при измерении этих величин с одинаковой надежностью Р составляют соответственно Δm,ΔS,Δt.

Среднее значение кинетической энергии находим по формуле:

.

Вычисляем ΔЕ:

.

Погрешности прямых измерений, на основе которых вычисляется погрешность косвенного измерения, считаются грубыми или несущественными в зависимости от того, вносят они заметный вклад в погрешность окончательного результата. Несущественные погрешности достаточно оценить приближенно, но обязательно с завышением. Пусть, например, в формуле (12) относительная погрешность в определении времени и массы (∆t/t, ∆m/m) составляет 0,5%, в определении расстояния ∆S/S=5%. Очевидно, погрешность в определении времени и массы при вычислении ΔЕ можно не учитывать. Формула для вычисления ΔЕ может быть записана так:

,

где ∆S – приборная погрешность, которую можно принять как половину цены деления прибора измеряющего данную физическую величину.

Таблица 2

Некоторые формулы для расчета случайных абсолютных погрешностей косвенных измерений.

Х=f (a,b)	Формулы для вычисления погрешностей косвенных измерений
Х=a+b
Х= a^b^β
Х=sina + sinb
Х=е^ab

Приближенные вычисления

При выполнении вычислений необходимо всегда задаваться практически необходимой точностью. Вести вычисления с большей точностью, чем это допускает данная задача, не имеет смысла.

При расчетах, связанных с выполнением лабораторных работ, следует пользоваться правилами округления. При округлении оставляют лишь верные знаки числа, все прочие отбрасываются.

1. Правило. Округление достигается простым отбрасыванием цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше 5.

2. Правило. Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от 0.

3. Правило. Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится за ближайшее четное число, т.е. последняя сохраняемая цифра оставляется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

Указанные правила округления следует использовать для упрощения действий при выполнении расчета, когда числа, входящие в расчетную формулу, заканчиваются не на одном разряде.

4. Правило. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять тот порядок, который имеется в приближенном числе с наименьшим порядком десятичных знаков.

Например: 44,2+0,542+8,947=44,2+0,54+8,95=53,7.

5. Правило. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр.

Например: 40,91·2,8364=40,91·2,84=116.

6. Правило. При возведении в степень в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число.

Например: (11,38)²=129,5044=129,5.

7. Правило. При извлечении корней в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число.

Например: =2,263=2,26.

8. Правило. При нахождении логарифма приближенного числа нужно брать из таблицы столько знаков, сколько верных знаков содержит данное число.

Например: ln77,23=1,8878=1,888.

Замечание. При вычислении промежуточных значений следует брать на одну цифру больше, чем указано в правилах 1,2,3,4,5.

В окончательном результате эта запасная цифра отбрасывается.