Закон Вина

Вин (1893г.), воспользовавшись, кроме термодинамики, электромагнитной теорией, показал, что функция спектрального распределения должна иметь вид

, (8)

где F – неизвестная функция отношения частоты к температуре.

Согласно формуле (5), для функции f(,Т) получается выражение

(9)

где  (,Т) – неизвестная функция произведения Т.

Соотношение (9) позволяет установить зависимость между длинной волны _max, на которую приходится максимум функции f(,Т) и температурой. Тщательные измерения ряда исследователей привели к установлению эмпирического хода функции f(,Т) и позволили проверить теоретические выводы Вина. Кривые, полученные в результате этих исследований, приведены на рис.2. Из рис.2 видно, что f(,Т) для каждой температуры обладает максимумом. Положение максимума функции f(,Т) может быть определено из условий экстремума, если известен вид функции (9). На основе экспериментальных исследований длина волны, соответствующая максимуму функции f(,Т), определяется по формуле

(10)

Итак, с ростом температуры максимум лучеиспускательной способности абсолютно чёрного тела смещается в сторону коротких длин волн. Равенство (10) получило название закона смещения Вина. Закон можно записать и в виде соотношения . Постоянная величинаb приведена из опыта (b=2,9·10^-3 м К – постоянная Вина)

Формула Релея – Джинса

Релей и Джинс сделали попытку определить функцию f(,Т) исходя из теоремы классической статики о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная kТ–одна половинка на электрическую, вторая – на магнитную энергию волны. В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объёме полости с определённой плотностью U=Uf(T). Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией U(,Т). Установим связь между функцией Кирхгофа f(,Т) и спектральной плотностью энергии U(,Т). Сделаем в стенке полости небольшое отверстие площадью dS. Излучение интервала частот d распространяется во все стороны хаотически. Будем считать (как и для идеального газа), что в направлении перпендикулярном к отверстию, будет распространяться 1/3 этих волн, причём, 1/2 из них будет двигаться от отверстия внутрь полости, а остальная часть наружу. За время dt через отверстие площадью dS выйдут все волны, заключённые в цилиндре площадью основания dS и высотой сdt (где с – скорость распространения света в вакууме), движущейся по направлению к площадке. Эти волны несут энергию, которая излучается отверстием наружу:

.

Более точное интегрирование по всем направлениям распространения излучения даёт результат, отличающийся числовым множителем. Энергия через площадку оказывается равной

.

С другой стороны, это отверстие является абсолютно чёрным телом и за время dt с площадки dS должна излучаться энергия . Приравнивая эти выражения и учитывая, что для абсолютно чёрного тела, получаем

. (11)

Определим вид функции U(,Т). Для нахождения функции U(,Т) необходимо знать число независимых волн Z_ω, частота которых лежит в единичном интервале частот: около некоторой частоты , заключённых в единице объёма полости. Соответствующий расчёт приводит к

. (12)

Умножив Z_ω на среднюю энергию одного колебания, получим приходящуюся на один интервал частот энергию излучения, заключённую в единице объёма полости, т. е. U(,Т). Исходя из закона равномерного распределения энергии по степеням свободы. Релей и Джинс приписали каждому колебанию энергию, равную kТ. В этом случае

(13)

Перейдя от U(,Т) к f(,Т) по формуле (11) получим

(14)

Выражение (14) называется формулой Релея–Джинса.

Как видно из приведённого на рис.3 графика формула совпадает с экспериментальной кривой только в области малых частот. В области же больших частот, начиная с частот, приблизительно соответствующих ультрафиолетовым колебаниям, имеется резкое расхождение между теоретической и экспериментальной кривыми. Теоретическая кривая неограниченно растёт, а экспериментальная проходит через максимум и быстро спадает до нуля. Полная энергия излучения, согласно формуле Релея–Джинса, равна бесконечности:

,

тогда как в действительности, энергия равновесного излучения, согласно формуле Стефана-Больцмана, конечна и пропорциональна четвёртой степени температуры: .

Это расхождение получило название “ультрафиолетовой катастрофы”, смысл названия заключается в том, что нарушение закона сохранения энергии происходит при подстановке в формулу бесконечности в качестве верхнего “ультрафиолетового” предела частот. Вывод формулы (14) с классической точки зрения был запрещён. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывало на существование каких–то закономерностей, несовместимых с представлениями классической статистикой физики и электродинамики.

рис.3