7.4. Правило Крамера решения систем линейных уравнений.

Габриэль Крамер (1704 – 1752) ─ швейцарский математик, который в 1750 г. нашёл метод решения систем линейных уравнений, названный впоследствии правилом Крамера.

Определение. Система линейных уравнений называется крамеровской, если тело уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы отличен от нуля.

Теорема 7.1. Крамеровская система имеет единственное решение, которое находится по формулам

где ─ определитель матрицы системы, ─ определитель, полученный из , заменой столбца коэффициентов при на столбец свободных членов.

Доказательство. Пусть дана крамеровская система

(4)

Тогда

│А│= ∆ =  0.

По теореме 3 лекции 6 матрица системы А имеет обратную матрицу А^-1.

Запишем крамеровскую систему (4) в матричном виде

АХ = В (5)

где

А = , Х = , В = .

Умножим обе части матричного уравнения (5) слева на А^-1:

А^-1(АХ) = А^-1В,

Ввиду ассоциативности умножения матриц имеем

А^-1(АХ) = (А^-1А)Х = Е_ТХ = Х.

Таким образом,

Х = А^-1В ─ решение системы.

1) Покажем, что такое решение единственно. Предположим, что Х₁ и Х₂ ─ два решения матричного уравнения (5). Тогда АХ₁ = В и АХ₂ = В, откуда АХ₁ = АХ₂. Умножая обе чисти равенства на А^-1 слева, имеем

А^-1(АХ₁) = А^-1(АХ₂),

(А^-1А)Х₁ = (А^-1А)Х₂,

Е_nХ₁ = Е_nХ₂,

Х₁ = Х₂.

Следовательно, система (4) имеет единственное решение.

2) Найдём решение системы (4). Из равенства Х = А^-1В имеем:

= ,

откуда

,

,

……………………………………………………..

.

Обозначая определители в правой части равенств соответственно, получим формулы .

7.5. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Этот метод также применяется для решения крамеровских систем. Основан он на равенстве

Х = А^-1В,

кторое мы получили при доказательстве теоремы 7.1.

8.1. Прямоугольная декартова система координат в пространстве.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трёх пересекающихся в одной точке О взаимно перпендикулярных осей Ох, Оу и Оz. Точка О называется началом координат, Ох ─ осью ординат, Oz ─ осью аппликат (рис.8.1).

П усть М ─ произвольная точка пространства (рис.8.1). Проведём через точку М три плоскости, перпендикулярные координатным осям. Точки пересечения с осями Ох, Оу и Оz обозначим соответственно М_х, М_у и М_z. Прямоугольными (декартовыми) координатами точки М в пространстве называются числа х₀, у₀ и z₀, соответствующие точками М_х, М_у и М_z на соответствующих осях. При этом х₀ называется абсциссой, у₀ ─ ординатой, z₀ ─ аппликатой точки М. То, что точка М имеет координаты х₀, у₀ и z₀ обозначается: М(х₀; у₀;z₀).

Плоскости Оху, Оуz и Охz называются координатными плоскостями. Они делят всё пространство на восемь частей, называемых октантами.