- •1.2. Прямоугольная система координат на плоскости.
- •1.3. Полярная система координат.
- •1.4. Связь между полярными и декартовыми координатами.
- •1.5. Расстояние между двумя точками.
- •Деление отрезка в данном отношении.
- •1.7. Площадь треугольника.
- •2.1. Уравнение линии на плоскости.
- •2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •2.3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
- •2.4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •2.5. Общее уравнение прямой.
- •2.6. Уравнение прямой в отрезках на осях координат.
- •2.7. Угол между прямыми на плоскости.
- •2.8. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
- •3.1. Расстояние от точки до прямой.
- •3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •4.1. Эллипс. Окружность.
- •4.2. Гипербола.
- •4.3. Парабола.
- •5.1 Понятие о матрице.
- •5.2. Сложение и вычитание матриц.
- •5.3. Умножение матрицы на число.
- •5.4. Умножение матриц.
- •5.5. Транспонирование матрицы.
- •5.6. Элементарные преобразования строк матрицы.
- •5.7. Ступенчатая матрица. Ранг матрицы.
- •6.1. Определители второго порядка.
- •6.2. Определители третьего порядка.
- •6.3. Определитель n-го порядка (n n).
- •6.4. Свойства определителей.
- •6.5. Обратная матрица.
- •7.1. Систем линейных уравнений.
- •7.2. Критерий совместности системы линейных уравнений.
- •7.3. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
- •7.4. Правило Крамера решения систем линейных уравнений.
- •7.5. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
- •8.1. Прямоугольная декартова система координат в пространстве.
- •8.2. Понятие вектора.
- •8.3. Линейные операции над векторами.
- •8.4. Проекция вектора на ось.
- •8.5. Координаты вектора.
- •8.6. Длина вектора. Расстояние между точками в пространстве.
- •8.7. Деление отрезка в данном отношении.
- •9.1. Разложение вектора по базисным векторам.
- •9.2. Скалярное произведение векторов.
- •9.3. Правые и левые системы координат.
- •9.4. Векторное произведение двух векторов.
- •9.5. Смешанное произведение векторов.
- •10.1. Плоскость в пространстве.
- •10.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- •10.1.2.Общее уравнение плоскости.
- •10.1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •10.1.4. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •10.1.5. Угол между двумя плоскостями.
- •10.2. Прямая в пространстве.
- •10.2.1. Векторно-параметрическое уравнение прямой.
- •10.2.6. Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •10.3. Задачи на прямую и плоскость в пространстве.
- •10.3.1. Прямая как пересечение двух плоскостей.
- •10.3.2. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •10.3.3. Угол между прямой и плоскостью.
- •10.3.4. Расстояние от точки до плоскости.
- •10.4. Цилиндры второго порядка.
- •10.5. Поверхности вращение второго порядка.
- •10.6. Поверхности второго порядка.
- •11.1. Линейные пространства и их простейшие свойства.
- •11.2. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •11.3. Размерность и базис линейного пространства.
- •12.1. Понятие функции.
- •12.2. Понятие функции нескольких переменных.
- •12.3. Предел функции.
- •12.4. Односторонние пределы функции.
- •12.5. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
- •12.6. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
- •13.1. Основные теоремы о пределах функций.
- •13.2. Замечательные пределы.
- •14.2. Точки разрыва функции и их классификация.
- •17.1. Признак возрастания и убывания функции.
- •17.2. Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •17.3. Направления выпуклости, точки перегиба.
- •17.4. Асимптоты.
- •17.5. Исследование функций и построение графиков.
- •18.1. Понятие о первообразной функции.
- •18.2. Неопределённый интеграл и его свойства.
- •18.3. Таблица основных неопределённых интегралов.
- •18.4 Понятие об основных методах интегрирования.
- •19.1. Задача о площади криволинейной трапеции.
- •19.2. Понятие определённого интеграла.
- •19.3. Свойства определенного интеграла.
- •19.4. Теорема об оценке определённого интеграла. Теорема о среднем.
- •19.5. Определённый интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- •19.6. Основные методы интегрирования.
- •19.7. Приложения определённого интеграла.
- •19.7.1. Площадь криволинейной трапеции.
- •19.7.3. Площадь поверхности вращения.
- •19.7.4. Объём тела.
- •20.1. Интегралы с бесконечными пределами.
- •20.2. Интегралы от неограниченных функций.
- •21.1. Основные понятия.
- •21.2. Предел и непрерывность.
- •21.3. Частные производные первого порядка.
- •21.4. Частные производные высших порядков.
- •21.5. Дифференцируемость полный дифференциал.
- •21.6. Экстремум функции двух переменных.
- •21.7. Метод наименьших квадратов.
- •22.1. Двойной интеграл и его свойства.
- •Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.
- •22.2. Тройной интеграл и его вычисление.
- •23.1.Основные понятия.
- •23.1.Основные свойства числовых рядов.
- •23.3. Положительные ряды.
- •23.4. Знакочередующиеся ряды.
- •23.5. Абсолютная и условная сходимость.
- •23.6. Функциональные ряды.
- •23.7. Степенные ряды.
- •24.1. Основные понятия.
- •24.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •25.2. Случаи понижения порядка.
- •25.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •25.3.1. Линейное однородное ду второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
- •25.3.2. Линейное неоднородное ду второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
10.1. Плоскость в пространстве.
10.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Пусть дана точка М0(х0;у0;z0) и ненулевой вектор = (А,В,С). Требуется составить
уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно указанному вектору (Рис.10.1). В таком случае вектор называют нормальным вектором плоскости.
П усть М(х;у;z) ─ произвольная точка плоскости. Так как вектор = (х-х0;у-у0;z-z0) лежит на плоскости, то он перпендикулярен вектору . Следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е.
= 0.
Тогда
А(х - х0) + В(у - у0) + С(z - z0) = 0 (1)
Получили искомое уравнение.
10.1.2.Общее уравнение плоскости.
Раскроем скобки в уравнении (1):
А(х - х0) + В(у - у0) + С(z - z0) = 0
Ах + Ву +Сz + (- Ах0 – Ву0 – Сz0) = 0
Обозначим через D = - Ах0 – Ву0 – Сz0 . Получаем уравнение
Ах + Ву +Сz + D = 0, (2)
которое называется общим уравнением плоскости.
Частные случаи:
D = 0. Уравнение Ах + Ву +Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.
С = 0. В этом случае нормальный вектор (А;В;0) перпендикулярен оси Оz. Поэтому плоскость Ах + Ву + D = 0 параллельна оси Оz.
С = 0, D = 0. С учётом п.1) и п.2) плоскость Ах +Ву = 0 проходит через ось Oz.
В = 0, С = 0. В этом случае нормальный вектор (А;0;0) перпендикулярен плоскости Oyz. Поэтому плоскость Ах + D = 0 параллельно оси Oyz.
В = 0, С = 0, D = 0. Плоскость Ах = 0 или х = 0 определяет координатную плоскость Oyz.
Аналогично рассматриваются всевозможные другие случаи.
10.1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Пусть даны три точки пространства М1(х1;у1;z1), М2(х2;у2;z2), M3(x3;y3;z3)? Не лежащие на одной прямой. Пусть М(х;у;z) ─ произвольная точка этой плоскости
(х – х0;у – у0;z – z0), (х2 – х1;у2 – у1;z2 – z1), (х3 – х1;у3 – у1;z3 – z1) компланарны. Поэтому их смешанное произведение равно нулю:
= 0.
Следовательно, искомое уравнение
= 0. (3)
10.1.4. Взаимное расположение двух плоскостей.
Пусть даны две плоскости
А1х + В1у +С1z + D1 = 0,
А2х + В2у +С2z + D2 = 0.
Первая плоскость имеет нормальный вектор (А1;В1;С1), вторая плоскость (А2;В2;С2).
Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, т.е. = для некоторого числа . Поэтому
─ условие параллельности плоскости.
Условие совпадения плоскостей:
,
так как в этом случае умножая второе уравнение на = , получим первое уравнение.
Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности, если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы , . Поэтому их скалярное произведение равно 0, т.е. = 0, или
А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0.
Это необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.