18.4 Понятие об основных методах интегрирования.
К числу важным методам интегрирования относятся методы: непосредственного интегрирования; замены переменной; интегрирования по частям.
Метод непосредственного интегрирования основан на свойстве 4 неопределённого интеграла и использует таблицу основных неопределённых интегралов.
Метод замены переменной (или метод подстановки) основан на следующей теореме.
Теорема. Если F(x) ─ первообразная функции f(x), а х = (t) ─ дифференцируемая функция f((t))'(t) также имеет первообразную, причём
f((t))'(t)dt = F((t)) + C.
Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции
(F((t)))' = F'((t)) '(t) = f((t))'(t),
т.е. функция f((t))'(t) имеет в качестве одной из своих первообразных функцию F((t)). Следовательно,
f((t))'(t)dt = F((t)) + C.
Поскольку
F((t)) + C = F(х) + C = f(х)dх,
то
f(х)dх = f((t))'(t)dt. (*)
По формуле (*) осуществляется замена переменной в неопределённом интеграле.
Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле
udv = u v ─ vdu ,
где u = u(x), v = v(x) ─ некоторые дифференцируемые функции.
19.1. Задача о площади криволинейной трапеции.
Рассмотрим
криволинейную
трапецию
(рис.19.1),
т.е. плоскую фигуру, ограниченную сверху
графиком функции
(
),
слева и справа ─ отрезками
и
прямых
,
снизу
осью
.
О
трезок
[
]
точками
=
разобьём на n
элементарных отрезков
,
,
…,
,
длины которых обозначим через
для k=1,2,…,n.
В каждом элементарном отрезке
выберем произвольную точку
и вычислим в ней значение данной функции
f(
).
Произведение f(
)
выражает площадь прямоугольника с
основанием
и высотой f(
).
Составим сумму всех таких произведений
Sn
=
(1)
Эта сумма называется интегральной суммой для функции на [ ] и выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников и приближённо заменяющей данную трапецию. Очевидно, что сумма Sk зависит от способа разбиения и выбора точек .
Обозначим через λ длину наибольшего из элементарных отрезков , k=1,2,…,n, т.е. λ=max . Число S, вычисляемое по формуле
S
=
Sn
=
,
называется площадью криволинейной трапеции.
19.2. Понятие определённого интеграла.
Пусть
дана функция
,
определённая на [
],
где
.
Отрезок [
]
точками
=
разобьём на n
элементарных отрезков
,
,
…,
,
длины которых обозначим через
,
т.е.
,
k=1,2,…,n.
В каждом из элементарных отрезков
выберем произвольно одну точку
,
значение функции f(
)
умножим на длину отрезка
и составим сумму всех таких произведений
Sn = (2)
Сумма (2) называется интегральной суммой для функции на [ ].
Обозначим через λ длину наибольшего из элементарных отрезков , т.е.
λ=max , k=1,2,…,n.
Определение. Определённым интегралом от функции на [ ] называется, конечный предел её интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю.
Обозначается:
.
называется подинтегральной функцией,
─ переменной
интегрирования,
─ нижним
пределом интегрирования,
─ верхним
пределом интегрирования.
Следовательно, по определению
= (3)
Из определения следует, что величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.
=
= … =
.
Функция, для которой существует предел (3), называется интегрируемой на [ ].
Геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что если и f(x)≥0, то определённый интеграл от функции по отрезку [ ] равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа прямыми , снизу осью .