8.7. Деление отрезка в данном отношении.
Теорема 8.2. Пусть М1(х1;у1;z1), М2(х2;у2;z2). Если точка М(х0;у0;z0) делит отрезок М1М2 в отношении α, то
,
,
(3)
Доказательство.
Нетрудно заметить (рис.8.14), что
=
+
.
Так как
,
то
=
.
Вектор
=
−
.
Теперь,
=
+ (
−
)α,
+ α = + α,
(1 + α) = + α,
= (
+
α)
.
Перейдём к координатам: = (х0;у0;z0), = (х1;у1;z1), = (х2;у2;z2). Тогда
(х0;у0;z0) = ((х1;у1;z1) + (х2;у2;z2)α) ,
откуда
, , .
Следствие. Пусть М1(х1;у1;z1), М2(х2;у2;z2). Если М0(х0;у0;z0) ─ середина отрезка М1М2, то
,
,
.
9.1. Разложение вектора по базисным векторам.
П
усть
задана прямоугольная система координат
в пространстве (рис.9.1). Введём в
рассмотрение единичные векторы
координатных
осей Ох, Оу, Оz,
соответственно. Вектор
одинаково направлен с осью Оx,
─ с осью Оу,
─ с осью Оz.
Векторы
называются базисными
векторами системы координат или ортами.
Пусть
= (х0,у0,z0)
─ произвольный вектор пространства.
Отложим из начала координат О вектор
=
.
По свойствам координат
=
(х0,у0,z0).
Пусть числу х0
на оси Ох соответствует точка Мх,
числу у0
на Оу ─ Му
и числу z0
на оси Оz
─ точка Мz.
Тогда
,
,
.
Так
как
─ диагональ прямоугольного параллелепипеда,
построенного на векторах
,
и
,
то нетрудно заметить, что
= + + ,
откуда
=
=
+
+
.
Последняя формула даёт разложение вектора по базисным векторам .
9.2. Скалярное произведение векторов.
Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между векторами. Обозначение .
Итак,
по определению
=
cosφ,
где φ ─ угол между
и
.
Свойства скалярного произведения.
1.
=
=
cos0
=
.
2. Свойство коммутативности: = .
Действительно,
=
cosφ
=
=
cosφ.
3. Векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда = 0.
4. Косинус угла φ между векторами и вычисляется по формуле
cosφ
=
.
5. ( α) = ( )α , ( α)( β) = ( )(αβ).
6. ( + ) = +
Теорема 1. Если векторы = (х1;у1;z1) и = (х2;у2;z2), то = х1х2 + у1у2 + z1z2.
Доказательство. Запишем разложение векторов и по базисным векторам :
=
+
+
,
=
+
+
Тогда, используя свойства скалярного произведения, имеем
= (
+
+
)(
+
+
)
(
)(
)
+ (
)(
)
+ (
)(
)
+
+
(
)(
)
+ (
)(
)
+ (
)(
)
+ (
)(
)
+ (
)(
)
+ (
)(
)
(х1х2)
+ (
)у1х2
+ (
)z1x2
+ (
)x1y2
+
(y1y2)
+ (
)z1y2
+ (
)x1z2
+ (
)y1z2
+
(z1z2)
Теперь,
по свойству 1):
= │
│
= 1,
= 1,
= 1.
По свойству 3): = = = = = = 0.
Следовательно,
= х1х2 + у1у2 + z1z2.
Следствие 1.1. Если = (х1;у1;z1) и = (х2;у2;z2), то косинус угла между векторами и вычисляется по формуле
cosφ
=
.
Следствие 1.2. Векторы = (х1;у1;z1) и = (х2;у2;z2) перпендикулярны тогда и только тогда, когда х1х2 + у1у2 + z1z2 = 0.