21.7. Метод наименьших квадратов.

На практике при решении экономических задач зависимость между переменными и представляется в виде набора значений и соответствующих значений . Эти значения изображаются точками плоскости с координатами . Ломаная линия, соединяющая эти точки, называются экспериментальной кривой (Рис.21.4).

О днако исследование характера и свойств зависимости между и лучше производить имея аналитическое задание этой зависимости , наиболее точно описывающей экспериментальные данные, определяется экономическими или иными соображениями. В качестве таких функций используются следующие:

1) ─ линейная функция;

2) ─ параболическая функция;

3) ─ гиперболическая функция;

4) ─ показательная функция;

5) ─ экспоненциальная функция.

Выбранная для приближения функция называется теоретической. После выбора вида функции надо найти значения определяющих её параметров таким образом, чтобы отклонения значений функции от экспериментальных значений были минимальными. Минимизацию отклонений обычно проводят, находя минимум суммы квадратов отклонений S = , где = ─ отклонения теоретических значений функции от экспериментальных.

Общий метод наименьших квадратов для нахождения параметров на примере линейной функции: . Для этой функции коэффициенты и находят из системы уравнений:

Решения этой системы дают минимум функции S = S , а сама система называется системой нормальных уравнений. Эта система линейная относительно неизвестных , и её определитель

Следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:

; .

Таким образом, наилучшим линейным приближением экспериментальной кривой по методу наименьших квадратов является прямая , где ─ решение системы нормальных уравнений.

Замечание. Если в качестве теоретической зависимости выбрана зависимость, отличная от линейной, то из условия , находят соответствующую систему нормальных уравнений и решают её.

22.1. Двойной интеграл и его свойства.

Рассмотрим функцию , определённую в области S, которая ограничена замкнутой линией (рис.22.1). Область S сетью дуг разобьём на n элементарных областей . Предполагается, что область S и элементарные области имеют площади, которые обозначим теми же символами. В каждой элементарной области произвольно выберем точку М_{k ,} значение функции в этой умножим на площадь , составим сумму всех таких произведений:

I_n = .

Эта сумма называется интегральной суммой для функции по области S. Обозначим через наибольший из диаметров элементарных областей .

Двойным интегралом от функции по области S называется предел её интегральной суммы при :

= .

Функция называется подинтегральной функцией, а область S ─ областью интегрирования. Двойной интеграл от функции по области S обозначается также следующим образом:

.

Если предел существует, то функция называется интегрируемой в области S. Отметим, что непрерывные в области S функции всегда интегрируемы.

Геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от функции

≥ 0 по области S равен объёму цилиндроида с основанием S, который ограничен сверху поверхность (рис.22.2).

Свойства двойного интеграла.

1. Если функции и интегрируемы в области S, то интегрируемы в ней их сумма и разность, причём

= ±

2. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла

= , с = const.

3. Если интегрируема в области S и S разбита на две непересекающиеся области S₁ и S₂, то

= + .

4. Если функции и интегрируемы в области S, в которой

≤ , то

≤ .

5. Если функция интегрируема в области S, то также интегрируема в ней, причём

≤ .

6. Если в области S функция удовлетворяет условиям , то

,

где S₁ ─ площадь области S.