18.1. Понятие о первообразной функции.

Определение. Функция F(x), определённая в промежутке (а;b), называется первообразной данной функции f(x) в этом промежутке, если для любого значения х(а;b) выполняется равенство F'(x) = f(x).

Теорема 1. Если F(x) ─ первообразная функции f(x), то множество

{F(x) + CC ─ произвольная постоянная}

есть множество всех первообразных функции f(x).

Доказательство. Очевидно, что любая функция Ф(х) = F(x) + C₀, где С₀ ─ некоторая постоянная, является первообразной функции f(x), т.к. Ф'(х)= (F(x) + C₀)' = F'(x) + C'₀= f(x). Обратно, если Ф(х) ─ некоторая первообразная функции f(x), то

(Ф(х) – F(x))' = Ф'(х) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0. Но это означает, что функция Ф(х) – F(x) постоянна, т.е. существует произвольная постоянна С₁ такая, что Ф(х) – F(x) = С_1, откуда Ф(х) = F(x) + С₁.

18.2. Неопределённый интеграл и его свойства.

Определение. Если функция F(x) ─ первообразная функции f(x), то множество всех функций F(x) + С, где С ─ произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается

 f(x)dx = F(x) + C.

При этом функция f(x) называется подинтегральной функцией, f(x)dx ─ подинтегральным выражением. Операция нахождения неопределённого интеграла называется также интегрированием.

Свойство 1. Производная неопределённого интеграла равна подинтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подинтегральному выражению, т.е.

( f(x)dx)' = f(x); d( f(x)dx) = f(x)dx.

Свойство 2. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

 d((x)) = (x) + С.

Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

 kf(x)dx = k f(x)dx (k = const, k0).

Свойство 4. Если функции f₁(x) и f₂(x) имеют первообразные, то функция f₁(x) + f₂(x) также имеет первообразную, причём

 (f₁(x) + f₂(x))dx =  f₁(x)dx +  f₂(x)dx.

Свойство 4.1. Если функции f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) имеют первообразные, то функция

f₁(x) + f₂(x) +…+ f_n(x) также имеет первообразную, причём

 (f₁(x) +…+ f_n(x))dx =  f₁(x)dx + … + f_n(x)dx..

18.3. Таблица основных неопределённых интегралов.

1.  dx = x + C, 6.  cosxdx = sinx + C,

2.  x^ dx = + C,( > 0) 7.  sinxdx = - cosx + C,

3.  dx = ℓnx+ C, 8.  dx = tgx + C,

4.  a^x dx = + C, (a > 0) 9.  dx = - ctgx + C,

5.  e^x dx = e^x + C, 10.  =arcsinx + C =-arccosx+ C

11.  dx = arctgx + C = - arcctgx + C.

Замечание. Формулы этой таблицы остаются справедливыми и в случае, когда вместо х поставить некоторую дифференцируемую функцию u = u(x), т.е. можно записать обобщённую таблицу простейших неопределённых интегралов:

1.  du = u + C, 2.  u^ du = + C (  1)

и т.д.