- •1.2. Прямоугольная система координат на плоскости.
- •1.3. Полярная система координат.
- •1.4. Связь между полярными и декартовыми координатами.
- •1.5. Расстояние между двумя точками.
- •Деление отрезка в данном отношении.
- •1.7. Площадь треугольника.
- •2.1. Уравнение линии на плоскости.
- •2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •2.3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
- •2.4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •2.5. Общее уравнение прямой.
- •2.6. Уравнение прямой в отрезках на осях координат.
- •2.7. Угол между прямыми на плоскости.
- •2.8. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
- •3.1. Расстояние от точки до прямой.
- •3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •4.1. Эллипс. Окружность.
- •4.2. Гипербола.
- •4.3. Парабола.
- •5.1 Понятие о матрице.
- •5.2. Сложение и вычитание матриц.
- •5.3. Умножение матрицы на число.
- •5.4. Умножение матриц.
- •5.5. Транспонирование матрицы.
- •5.6. Элементарные преобразования строк матрицы.
- •5.7. Ступенчатая матрица. Ранг матрицы.
- •6.1. Определители второго порядка.
- •6.2. Определители третьего порядка.
- •6.3. Определитель n-го порядка (n n).
- •6.4. Свойства определителей.
- •6.5. Обратная матрица.
- •7.1. Систем линейных уравнений.
- •7.2. Критерий совместности системы линейных уравнений.
- •7.3. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
- •7.4. Правило Крамера решения систем линейных уравнений.
- •7.5. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
- •8.1. Прямоугольная декартова система координат в пространстве.
- •8.2. Понятие вектора.
- •8.3. Линейные операции над векторами.
- •8.4. Проекция вектора на ось.
- •8.5. Координаты вектора.
- •8.6. Длина вектора. Расстояние между точками в пространстве.
- •8.7. Деление отрезка в данном отношении.
- •9.1. Разложение вектора по базисным векторам.
- •9.2. Скалярное произведение векторов.
- •9.3. Правые и левые системы координат.
- •9.4. Векторное произведение двух векторов.
- •9.5. Смешанное произведение векторов.
- •10.1. Плоскость в пространстве.
- •10.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- •10.1.2.Общее уравнение плоскости.
- •10.1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •10.1.4. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •10.1.5. Угол между двумя плоскостями.
- •10.2. Прямая в пространстве.
- •10.2.1. Векторно-параметрическое уравнение прямой.
- •10.2.6. Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •10.3. Задачи на прямую и плоскость в пространстве.
- •10.3.1. Прямая как пересечение двух плоскостей.
- •10.3.2. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •10.3.3. Угол между прямой и плоскостью.
- •10.3.4. Расстояние от точки до плоскости.
- •10.4. Цилиндры второго порядка.
- •10.5. Поверхности вращение второго порядка.
- •10.6. Поверхности второго порядка.
- •11.1. Линейные пространства и их простейшие свойства.
- •11.2. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •11.3. Размерность и базис линейного пространства.
- •12.1. Понятие функции.
- •12.2. Понятие функции нескольких переменных.
- •12.3. Предел функции.
- •12.4. Односторонние пределы функции.
- •12.5. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
- •12.6. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
- •13.1. Основные теоремы о пределах функций.
- •13.2. Замечательные пределы.
- •14.2. Точки разрыва функции и их классификация.
- •17.1. Признак возрастания и убывания функции.
- •17.2. Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •17.3. Направления выпуклости, точки перегиба.
- •17.4. Асимптоты.
- •17.5. Исследование функций и построение графиков.
- •18.1. Понятие о первообразной функции.
- •18.2. Неопределённый интеграл и его свойства.
- •18.3. Таблица основных неопределённых интегралов.
- •18.4 Понятие об основных методах интегрирования.
- •19.1. Задача о площади криволинейной трапеции.
- •19.2. Понятие определённого интеграла.
- •19.3. Свойства определенного интеграла.
- •19.4. Теорема об оценке определённого интеграла. Теорема о среднем.
- •19.5. Определённый интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- •19.6. Основные методы интегрирования.
- •19.7. Приложения определённого интеграла.
- •19.7.1. Площадь криволинейной трапеции.
- •19.7.3. Площадь поверхности вращения.
- •19.7.4. Объём тела.
- •20.1. Интегралы с бесконечными пределами.
- •20.2. Интегралы от неограниченных функций.
- •21.1. Основные понятия.
- •21.2. Предел и непрерывность.
- •21.3. Частные производные первого порядка.
- •21.4. Частные производные высших порядков.
- •21.5. Дифференцируемость полный дифференциал.
- •21.6. Экстремум функции двух переменных.
- •21.7. Метод наименьших квадратов.
- •22.1. Двойной интеграл и его свойства.
- •Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.
- •22.2. Тройной интеграл и его вычисление.
- •23.1.Основные понятия.
- •23.1.Основные свойства числовых рядов.
- •23.3. Положительные ряды.
- •23.4. Знакочередующиеся ряды.
- •23.5. Абсолютная и условная сходимость.
- •23.6. Функциональные ряды.
- •23.7. Степенные ряды.
- •24.1. Основные понятия.
- •24.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •25.2. Случаи понижения порядка.
- •25.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •25.3.1. Линейное однородное ду второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
- •25.3.2. Линейное неоднородное ду второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
12.2. Понятие функции нескольких переменных.
Рассмотрим арифметическое n-мерное пространство.
Rn = {(x1,x2,…,xn)│x1,x2,…,xn R}.
Пусть Х ─ подмножество элементов множества Rn и Y ─ некоторое множество элементов у. Если каждому элементу (x1,x2,…,xn)Х поставлен в соответствие единственный элемент уΥ, то говорят на множестве Х задана функция у = f(x1,…xn) со значениями в множестве Y. Такая функция называется функцией n переменных x1,x2,…,xn.
В частности, при n = 2 имеем функцию двух аргументов у = f(x1,x2) или z = f(x;y). При n = 3 получаем функцию трёх переменных у = f(x1,x2,x3) или u = f(x;y;z).
12.3. Предел функции.
Рассмотрим функцию у = f(x), определённую в некотором интервале, содержащем точку х = а.
Определение. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к a (или в точке а), если для любого числа >0 существует такое >0, что при всех х, удовлетворяющих условию
0 < │х − а│< , (1)
выполняется неравенство
│f(x) − A│< . (2)
Обозначения предела функции f(x) при х, стремящемся к а:
f(x) = A;
f(x) → A при х → а.
Выясним геометрический смысл этого определения, воспользовавшись, графиком функции у = f(x) (рис.12.1). Неравенство (1) означает, что х отстоит от точки а не далее, чем на , т.е. принадлежит интервалу (а − ; а + ). Неравенство (2) означает, что значения функции у = а(ч) не выходят из интервала (А − ; А + ) оси Оу. Следовательно, точки М графика функции у = f(x) должны находится в полоске шириной 2, ограниченной прямыми у = А − , у = А + для всех значений х, удалённых от точки а не далее, чем на .
12.4. Односторонние пределы функции.
Определение. Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке а, если для любого > 0 существует > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам а < x < a + (a − < x < a), выполняется неравенство │f(x) − A│< . Обозначение f(x) = A ( f(x) = A).
Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.
Теорема 1. Функция у = f(x) имеет в точке а предел тогда и только тогда, когда в этой точке существует как левый, так и правый предел и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
Доказательство.
1) Пусть f(x) = f(x) = A. Тогда по определению односторонних пределов, для любого >0 существуют числа 1>0 и 2>0 такие, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам а<x<a+1, a−2< x < a, выполняется неравенство │f(x)−A│<. Возьмём = min{1,2}. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам а−<x<a+(или 0<│х−а│<) выполняется неравенство │f(x)−A│<. Это означает, что f(x) = A.
2) Пусть теперь f(x) = A. Тогда по определению, для любого >0 существует число >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0 <│х − а│< , выполняется неравенство │f(x)−A│<. Следовательно, для >0 существует >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам а<x <a+, (или a− < x <a), выполняется неравенство │f(x)−A│<. Это означает, что существует односторонние пределы f(x) и f(x), причём оба они равны числу А.