19.6. Основные методы интегрирования.

К таким относятся методы: замены переменной; интегрирования по частям.

Теорема (о замене переменной в определённом интеграле).

Пусть ─ непрерывная функция на отрезке [ ]. Тогда если: 1) функция = φ(t) дифференцируема на и φ'(t) непрерывна на ; 2) множеством значений функции = φ(t) является отрезок [ ]; 3) φ , φ , то справедлива формула

= (*)

Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница

= ,

где  некоторая первообразная для на . Рассмотрим сложную функцию . По правилу дифференцирования сложной функции

.

То означает, что функция является первообразной для функции , непрерывной на , и, поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница получаем

= = = = .

Теорема доказана.

Формула (*) называется формулой замены переменной или подстановки в определённом интеграле.

Замечание 1. Если при вычислении неопределённого интеграла с помощью замены переменной мы возвращались от новой переменной к старой, то при замене переменной в определённом интеграле делать этого не надо.

Теорема (об интегрировании по частям в определённом интеграле).

Если функции и непрерывны вместе со своими производными и на , то справедлива формула

(**)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определённом интеграле.

Доказательство. Так как функции и имеют по условию производные, то по правилу дифференцирования произведения

,

т.е. функция является первообразной для функции . Так как эта функция непрерывна на , то она интегрируема на этом отрезке и по формуле Ньютона-Лейбница

= .

Тогда = , откуда .

Теорема доказана.

19.7. Приложения определённого интеграла.

19.7.1. Площадь криволинейной трапеции.

Определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции на равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа прямыми , снизу  осью .

19.7.3. Площадь поверхности вращения.

Пусть кривая задана уравнением , , и пусть функция

н еотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на . Тогда поверхность, образованная вращением кривой вокруг оси (Рис.19.7.), имеет площадь , которая может быть вычислена по формуле

.

Если же поверхность получается вращением кривой , заданной уравнением , , вокруг оси , то площадь такой поверхности вычисляется по формуле

.

19.7.4. Объём тела.

Рассмотрим некоторое тело и вычислим его объём . Допустим, что известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными оси . С изменением меняется и площадь сечения, т.е. площадь сечения является некоторой функцией . Если эта функция непрерывна на , то объём тела

.

В частности, если тело образовано вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой непрерывной линии , где (Рис.19.10.), то и получаем формулу

.

Если же тело получено вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной дугой линии , , то его объём

.