10.3. Задачи на прямую и плоскость в пространстве.

10.3.1. Прямая как пересечение двух плоскостей.

Пусть заданы две плоскости

А₁х + В₁у +С₁z + D₁ = 0,

А₂х + В₂у +С₂z + D₂ = 0

Если плоскости не являются параллельными, то нарушается условие

.

Пусть, например  .

Найдём уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости.

В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять вектор

= × = = .

Чтобы найти точку, принадлежащую искомой прямой, фиксируем некоторое значение

z = z₀ и решая систему

,

получаем значения х = х₀, у = у₀. Итак, искомая точка М(х₀;у₀;z₀).

Искомое уравнение

.

10.3.2. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Пусть задана прямая х = х₀ + а₁t, y = y₀ + a₂t, z = z₀ + a₃t

и плоскость

А₁х + В₁у +С₁z + D₁ = 0.

Чтобы найти общие точки прямой и плоскости, необходимо решить систему их уравнений

откуда

А₁(х₀ + а₁t) + B₁(y₀ + a₂t) + C₁(z₀ + a₃t) + D₁ = 0,

(A₁a₁ + B₁a₂ + C₁a₃)t + (A₁x₀ + B₁y₀ + C₁z₀ + D₁) = 0.

Если А₁а₁ + В₁а₂ + С₁а₃  0, то система имеет единственное решение

t = t₀ = - .

В этом случае прямая и плоскость пересекаются в единственной точке М₁(х₁;у₁;z₁), где

х₁ = х₀ + а₁t₀, y₁ = y₀ + a₂t₀, z₁ = z₀ + a₃t₀.

Если А₁а₁ + В₁а₂ + С₁а₃ = 0, А₁x₀ + В₁y₀ + С₁z₀ + D₁  0, то прямая и плоскость не имеет общих точек, т.е. параллельны.

Если же А₁а₁ + В₁а₂ + С₁а₃ = 0, А₁x₀ + В₁y₀ + С₁z₀ + D₁ = 0, то прямая принадлежит плоскости.

10.3.3. Угол между прямой и плоскостью.

Найдём угол  между прямой

= =

и плоскостью А₁х + В₁у +С₁z + D₁ = 0.

Поскольку вектор = (А₁;В₁;С₁) образует с направляющим вектором = (а₁;а₂;а₃) угол  = -  или  = +  (Рис.10.3 и Рис.10.4), то cos = cos( - ) или cos = cos( + ), откуда cos = sin или cos = - sin.

Значит, sin = cos= .

10.3.4. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть плоскость задана общим уравнением Ах +Ву + Сz +D = 0. Расстояние от точки М(х₀;у₀;z₀) до данной плоскости вычисляется по формуле

d = .

10.4. Цилиндры второго порядка.

Определение. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой (образующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению.

Определение. Цилиндром второго порядка называется цилиндрическая поверхность, направляющей которой является эллипс (окружность), гипербола или парабола.

Рассмотрим цилиндры второго порядка, у которых образующая параллельна оси Оz.

1). Эллиптический цилиндр (рис.10.5).

.

В частности эллиптический цилиндр имеет в качестве направляющей окружность. Его уравнение

или .

2). Гиперболический цилиндр (рис. 10.6)

-

.

3) Параболический цилиндр (рис. 10.7).

х² = 2ру.