- •1.2. Прямоугольная система координат на плоскости.
- •1.3. Полярная система координат.
- •1.4. Связь между полярными и декартовыми координатами.
- •1.5. Расстояние между двумя точками.
- •Деление отрезка в данном отношении.
- •1.7. Площадь треугольника.
- •2.1. Уравнение линии на плоскости.
- •2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •2.3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
- •2.4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •2.5. Общее уравнение прямой.
- •2.6. Уравнение прямой в отрезках на осях координат.
- •2.7. Угол между прямыми на плоскости.
- •2.8. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
- •3.1. Расстояние от точки до прямой.
- •3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •4.1. Эллипс. Окружность.
- •4.2. Гипербола.
- •4.3. Парабола.
- •5.1 Понятие о матрице.
- •5.2. Сложение и вычитание матриц.
- •5.3. Умножение матрицы на число.
- •5.4. Умножение матриц.
- •5.5. Транспонирование матрицы.
- •5.6. Элементарные преобразования строк матрицы.
- •5.7. Ступенчатая матрица. Ранг матрицы.
- •6.1. Определители второго порядка.
- •6.2. Определители третьего порядка.
- •6.3. Определитель n-го порядка (n n).
- •6.4. Свойства определителей.
- •6.5. Обратная матрица.
- •7.1. Систем линейных уравнений.
- •7.2. Критерий совместности системы линейных уравнений.
- •7.3. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
- •7.4. Правило Крамера решения систем линейных уравнений.
- •7.5. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
- •8.1. Прямоугольная декартова система координат в пространстве.
- •8.2. Понятие вектора.
- •8.3. Линейные операции над векторами.
- •8.4. Проекция вектора на ось.
- •8.5. Координаты вектора.
- •8.6. Длина вектора. Расстояние между точками в пространстве.
- •8.7. Деление отрезка в данном отношении.
- •9.1. Разложение вектора по базисным векторам.
- •9.2. Скалярное произведение векторов.
- •9.3. Правые и левые системы координат.
- •9.4. Векторное произведение двух векторов.
- •9.5. Смешанное произведение векторов.
- •10.1. Плоскость в пространстве.
- •10.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- •10.1.2.Общее уравнение плоскости.
- •10.1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •10.1.4. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •10.1.5. Угол между двумя плоскостями.
- •10.2. Прямая в пространстве.
- •10.2.1. Векторно-параметрическое уравнение прямой.
- •10.2.6. Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •10.3. Задачи на прямую и плоскость в пространстве.
- •10.3.1. Прямая как пересечение двух плоскостей.
- •10.3.2. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •10.3.3. Угол между прямой и плоскостью.
- •10.3.4. Расстояние от точки до плоскости.
- •10.4. Цилиндры второго порядка.
- •10.5. Поверхности вращение второго порядка.
- •10.6. Поверхности второго порядка.
- •11.1. Линейные пространства и их простейшие свойства.
- •11.2. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •11.3. Размерность и базис линейного пространства.
- •12.1. Понятие функции.
- •12.2. Понятие функции нескольких переменных.
- •12.3. Предел функции.
- •12.4. Односторонние пределы функции.
- •12.5. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
- •12.6. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
- •13.1. Основные теоремы о пределах функций.
- •13.2. Замечательные пределы.
- •14.2. Точки разрыва функции и их классификация.
- •17.1. Признак возрастания и убывания функции.
- •17.2. Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •17.3. Направления выпуклости, точки перегиба.
- •17.4. Асимптоты.
- •17.5. Исследование функций и построение графиков.
- •18.1. Понятие о первообразной функции.
- •18.2. Неопределённый интеграл и его свойства.
- •18.3. Таблица основных неопределённых интегралов.
- •18.4 Понятие об основных методах интегрирования.
- •19.1. Задача о площади криволинейной трапеции.
- •19.2. Понятие определённого интеграла.
- •19.3. Свойства определенного интеграла.
- •19.4. Теорема об оценке определённого интеграла. Теорема о среднем.
- •19.5. Определённый интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- •19.6. Основные методы интегрирования.
- •19.7. Приложения определённого интеграла.
- •19.7.1. Площадь криволинейной трапеции.
- •19.7.3. Площадь поверхности вращения.
- •19.7.4. Объём тела.
- •20.1. Интегралы с бесконечными пределами.
- •20.2. Интегралы от неограниченных функций.
- •21.1. Основные понятия.
- •21.2. Предел и непрерывность.
- •21.3. Частные производные первого порядка.
- •21.4. Частные производные высших порядков.
- •21.5. Дифференцируемость полный дифференциал.
- •21.6. Экстремум функции двух переменных.
- •21.7. Метод наименьших квадратов.
- •22.1. Двойной интеграл и его свойства.
- •Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.
- •22.2. Тройной интеграл и его вычисление.
- •23.1.Основные понятия.
- •23.1.Основные свойства числовых рядов.
- •23.3. Положительные ряды.
- •23.4. Знакочередующиеся ряды.
- •23.5. Абсолютная и условная сходимость.
- •23.6. Функциональные ряды.
- •23.7. Степенные ряды.
- •24.1. Основные понятия.
- •24.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •25.2. Случаи понижения порядка.
- •25.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •25.3.1. Линейное однородное ду второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
- •25.3.2. Линейное неоднородное ду второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
2.5. Общее уравнение прямой.
Теорема 2.1. Каждая прямая на плоскости с прямоугольной системой координат определяется уравнением первой степени
Ax + By + C = 0, где A и B одновременно не равны 0, (5)
и, обратно, уравнение (5) при произвольных коэффициентах A, B и C (A и B одновременно не равны нулю) определяет некоторую прямую на плоскости.
Доказательство. Сначала докажем первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна оси Ox, то она определяется уравнением первой степени y = kx + b или
kx – y + b = 0, т.е. уравнением вида (5), где A = k, B = -1, C = b. Если прямая перпендикулярна оси Ox, то согласно примера 1) из п. 2.2 её уравнение имеет вид x = a или x – a = 0, т.е. является уравнением вида (5) при A = 1, B = 0 и C = -a. Тем самым первое утверждение доказано.
Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (5), причём хотя бы один из коэффициентов A или B отличен от нуля. Если, например, B 0, то уравнение (5) можно записать в виде
y = - x - ,
т.е. в виде уравнения с угловым коэффициентом. По п. 2.3 это уравнение определяет на плоскости прямую. Если же B = 0, то A 0 и уравнение (5) имеет вид x = - . Это уравнение прямой, параллельной оси Oy, как показано в примере 1) п. 2.2. Второе утверждение доказано.
Уравнение первой степени (5) называется общим уравнением прямой на плоскости.
2.6. Уравнение прямой в отрезках на осях координат.
П усть прямая пересекает оси Ox и Oy соответственно в точках A и B (рис.2.3). Пусть A(a,0) и B(0,b). Из уравнения (4) имеем
= , + = 1.
Уравнение
+ = 1 (6)
называется уравнением прямой в отрезках на осях координат.
Заметим, что прямые, параллельные координатным осям, и прямые, проходящие через начало координат, не могут быть записаны уравнением этого вида.
2.7. Угол между прямыми на плоскости.
Рассмотрим на плоскости две прямые 1 : y = k1x + b1 и 2 : y = k2x + b2 с углами наклона к оси Ox соответственно φ1 и φ2 (рис.2.4).
Определение 2.2. Углом между прямыми 1 и 2 будем называть меньший из смежных углов, образованных этими пересекающимися прямыми.
На рис.2.4 таким является угол φ. Очевидно, что
0 ≤ φ ≤ . Из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами φ1, φ2 и φ : φ = φ2 – φ1. Возможны два случая:
1) Угол φ = , т.е. прямые 1 и 2 перпендикулярны.
2) 0 ≤ φ < . Тогда tg φ = tg (φ2 – φ1) = =
Формула
tg φ = , где (7)
позволяет вычислить угол между неперпендикулярными прямыми.
2.8. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
1) Если прямые 1 и 2 параллельны, то φ = 0. Тогда tg φ = 0 и из формулы (7) имеем k2 - k1 = 0 или k2 = k1. Таким образом, условием параллельности двух прямых на плоскости является равенство их угловых коэффициентов.
2) Если прямые 1 и 2 перпендикулярны, то φ = . Так как φ = φ2 – φ1 , то
φ2 = + φ1 и tg φ2 = tg( + φ1) = ctg φ1 = - , т.е.
k2 = - . (8)
Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.