21.5. Дифференцируемость полный дифференциал.

Пусть функция z = определена в некоторой окрестности точки М . Напомним, что полное приращение функции в точке М:

.

Определение. Функция z = называется дифференцируемой в точке М , если её полное приращение в этой точке можно представить в виде

А + В + ,

где и при , . Сумма первых двух слагаемых в этом равенстве называется главной частью приращения функции. Главная часть приращения функции z = называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом :

= А + В .

Выражения А и В называют частным дифференциалами. Для независимых переменных и полагают = , . Поэтому

А + В .

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции).

Если функция z = дифференцируема в точке М , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные

и , причём = А, = В.

Таким образом, полный дифференциал функции z = вычисляется по формуле

.

Следующая теорема даёт достаточные условия дифференцируемости функции.

Теорема. Если функция z = имеет непрерывные частные производные и в точке М , то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал выражается формулой

.

Из определения дифференциала функции z = следует, что при достаточно малых и имеет место приближённое равенство . Так как

, то имеем формулу

.

Эта формула используется в приближённых расчётах.

21.6. Экстремум функции двух переменных.

Пусть функция z = определена в некоторой области D, точка .

Точка называется точкой максимума функции z = , если существует такая окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство: .

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек , отличных от из окрестности точки выполняется неравенство: .

Значение функции в точке в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум называют её экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер; значение функции в точке сравнивается с её значениями в точках, достаточно близких к . В области определения функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Теорема (необходимые условия экстремума).

Если в точке дифференцируемая функция z = имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю: , .

Определение. Точка, в которой частные производные первого порядка функции

z = равны нулю, т.е. , , называется стационарной точкой функции z. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

Для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема (достаточное условие экстремума).

Пусть в стационарной точке и некоторой её окрестности функции имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения , , . Обозначим

= .

Тогда:

1. если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А<0: минимум, если А>0;

2. если , то функция в точке экстремумов не имеет.

В случае, когда экстремум в точке может быть, а может и не быть.

Необходимы дополнительные исследования.