23.1.Основные понятия.

Пусть дана бесконечная последовательность чисел . Символ

обозначаемый , называется числовым рядом или просто рядом, а числа  членами числового ряда. Суммы конечного числа членов ряда , …, называются частными суммами (или отрезками) числового ряда. Рассмотрим последовательность . Если существует предел , то числовой ряд называется сходящимся, а число  суммой этого ряда. В этом случае пишут

= = .

Если же последовательность не имеет предела, то ряд называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

23.1.Основные свойства числовых рядов.

2.1. Если в ряде = отбросить конечное число первых членов, то получим ряд

,

который называется -ым остатком данного ряда.

-ый остаток данного ряда сходится (или расходится) одновременно с данным рядом. Это означает, что при исследовании ряда на сходимость можно игнорировать конечное число его первых членов.

2.2. Необходимый признак сходимости ряда:

общий член сходящегося ряда стремится к нулю при , т.е. = 0. Это означает, что если  0, то ряд расходится.

2.3. Если ряд сходится и его сумма равна , то ряд , где произвольное число, также сходится и его сумма равна .

2.4. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то ряд также сходится и его сумма .

23.3. Положительные ряды.

Положительным рядом называется ряд, члены которого неотрицательны.

1. Признак сравнения рядов. Пусть даны два положительных ряда

= (1)

= (2)

Если выполняется условие , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда, а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

2) Признак Даламбера. Если члены положительного ряда таковы, что существует предел , то при ряд расходится, а при сходится.

3) Интегральный признак Коши. Пусть члены положительного ряда такие, что где функция при непрерывна, положительна убывает. Тогда данный ряд и несобственный интеграл

сходится или расходится одновременно.

23.4. Знакочередующиеся ряды.

Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд вида

(1)

где

1) признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (1) удовлетворяют условиям а) ;

б) = 0,

то знакочередующийся ряд сходится.

23.5. Абсолютная и условная сходимость.

Перейдём теперь к рядам с членами, имеющими любой знак. С каждым таким рядом

(1)

связан ряд с неотрицательными членами, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. ряд

(2)

Определение. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если ряд (2) сходится. Если же ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно сходящимся.

Теорема 1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

.