9.3. Правые и левые системы координат.
Три некомпланарных вектора , , , взятых в указанном порядке называют тройкой векторов. Пусть векторы , и отложены из одной точки. Будем смотреть с конца вектора на плоскость, в которой лежат векторы и . Если кратчайший поворот от к совершается против часовой стрелки, то тройка векторов , , называется правой тройкой (рис.9.2). Если же указанный поворот совершается по часовой стрелке, то тройка векторов , , называется левой (рис.9.3).
Декартовая прямоугольная система координат Охуz называется правой, если тройка её базисных векторов является правой, и левой, если тройка ─ левая.
В основном используют правые прямоугольные системы координат.
9.4. Векторное произведение двух векторов.
Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор × , который удовлетворяет следующим условиям:
1) │ × │ = │ ││ │sinφ, где φ ─ угол между векторами и ;
2) вектор × перпендикулярен каждому из векторов и ;
3) тройка векторов , , × ─ правая.
Свойства векторного произведения.
1. × = 0 для любого вектора .
2. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда × = 0.
3. Площадь параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах и , равна
│ × │.
4. Площадь треугольника, построенного на неколлинеарных векторах и , равна
│
×
│.
5. × = - ( × ).
6. ( + )× = × + × .
7. ( α)×( β) = ( × )(αβ).
Теорема 2. Если = (х1;у1;z1) и = (х2;у2;z2), то
×
=
=
−
+
.
Доказательство. Запишем разложение векторов и по базисным векторам:
= + + , = + + .
Составим таблицу векторных произведений базисных векторов; используя рис.9.4:
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
- |
|
|
|
|
- |
|
Схема: → × ↓ =
Теперь
×
= (
+
+
)
× (
+
+
)
(
)×(
)
+ (
)×(
)
+ (
)×(
)
+ + (
)×(
)
+ (
)×(
)
+ (
)×(
)
+ (
)×(
)
+ (
)×(
)
+ (
)×(
)
(
×
)
+ (
×
)
+ (
×
)
+ (
×
)
+ (
×
)
+ (
×
)
+
+
(
×
)
+ (
×
)
+ (
×
)
−
(
)
+
(
)
+
(
)
−
(
)
− −
(
)
+
(
)
=
(
−
)
−
(
−
)
+
(
−
)
=
−
− + = .
Следствие 2.1. Площадь параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах = (х1;у1;z1) и = (х2;у2;z2) равна модулю векторного произведения × , т.е.
Sпаралл.
= │
×
│=
.
Следствие 2.2. Площадь треугольника, построенного на неколлинеарных векторах
= (х1;у1;z1) и = (х2;у2;z2) вычисляется по формуле
Sтреуг. = .
9.5. Смешанное произведение векторов.
Определение. Пусть даны три вектора , и . Умножим вектор на векторно, а затем, векторное произведение × умножим скалярно на . В результате получим число ( × ) , которое называют смешанным произведение трёх векторов , и .
Теорема 3. Смешанное произведение ( × ) трёх некомпланарных векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах , и , связанному со знаком «+», если тройка , , правая, и со знаком «−», если эта тройка ─ левая.
Доказательство. Рассмотрим параллелепипед, построенный на векторах , и (рис.9.5).
Построим вектор
×
и пусть
─ единичный вектор, одинаково направленный
с вектором
×
.
Так как │
×
│=
S
─ площадь параллелограмма OBDA,
построенного на векторах
и
,
то
×
=
S.
Возьмём
ось ℓ, одинаково направленную с вектором
.
Тогда по свойствам проекции векторов
пре
=
соsφ,
где φ ─ угол между
и осью ℓ. Тогда │пре
│=
h,
где h
─ высота параллелепипеда. Отметим, что
если тройка
,
,
правая (рис.9.5), то h
= пре
=
=
соsφ.
Если же тройка
,
,
левая, то h
= − пре
= −
соsφ.
Теперь,
(
×
)
= (
S)
= (
)S
=
cosφ
S
= S
соsφ
=
S
h
=
Vпараллелепипеда,
причём знак «+» берётся, если , , ─ правая тройка, и знак «−», если она левая.
Следствие 3.1. Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение ( × ) = 0.
Д
оказательство.
Отметим, что если тройка , , правая, то тройка , , также правая (рис.9.6(а)), а если тройка , , левая, то тройка , , также левая (рис.9.6(б)).
Очевидно, что параллелепипед, построенный на векторах , , и векторах , , ─ один и тот же. Поэтому
( × ) = Vпарал., ( × ) = Vпаралл.
Так как тройки , , и , , либо обе правые, либо обе левые, то знак перед V выбирается в обоих произведениях одинаково. Поэтому
( × ) = ( × ) = ( × ).
Ввиду следствия 3.2 смешанное произведение векторов , , ещё обозначают .
Теорема 4.
Если
= (х1;у1;z1),
= (х2;у2;z2),
= (х3;у3;z3),
=
Доказательство.
= (
×
)
= х3
− у3
+ z3
=
.
Определение. Уравнением поверхности в заданной системе координат в пространстве называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки данной поверхности и только они.
Поверхность, определяемая алгебраическим уравнением n-й степени относительно декартовых координат, называется поверхностью n-го порядка. Мы рассмотрим поверхности 1-го и 2-го порядков.