Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.

1. П усть требуется вычислить двойной интеграл

,

где R ─ прямоугольник, определяемый неравенствами , (рис.22.3). Если функция непрерывна в прямоугольнике R, то

(*) = .

Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух определённых интегралов;

при вычислении «внутреннего» определённого интеграла считается постоянным. Правая часть формулы (*) называется повторным интегралом и обозначается следующим образом:

= .

Отметим, что результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования, т.е.

= .

2 . Чтобы рассмотреть более общий случай, введём понятие стандартной области. Стандартной областью в направлении данной оси называется такая область, для которой любая прямая, параллельная этой оси и имеющая с данной областью общие точки, пересекает границу области только в двух точках, т.е. пересекает саму область и её границу только по одному отрезку прямой.

Предположим, что ограниченная область S является стандартной в направлении оси и ограничена сверху графиком функции , снизу графиком функции (рис.22.4).

Пусть АА₁В₁В ─ минимальный прямоугольник, в котором заключена данная область S.

Тогда для непрерывной в области S функции

= .

Если же область S является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , , то

= .

Замечание. Если область интегрирования S не удовлетворяет условиям стандартной области, каждая из которых была бы стандартной в направлении одной из осей, и вычислить двойные интегралы по каждой части отдельно.

22.2. Тройной интеграл и его вычисление.

По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла.

Рассмотрим ограниченную замкнутую пространственную область V и определённую в ней непрерывную функцию . Аналогично строится интегральная сумма по данному объёму и определяется тройной интеграл от функции по пространственной области V:

=

или

= .

Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствами двойного интеграла.

Предположим, что область V является стандартной в направлении оси , т.е. удовлетворяет следующим условиям:

1. всякая прямая, параллельная оси и имеющая с данной областью общие точки, пересекает границу области только в двух точках;

2. проекция S области V на плоскость представляет собой стандартную область в направлении оси или оси .

Если стандартная область V ограничена сверху поверхностью , снизу ─ поверхностью , а проекция S области V стандартна в направлении оси и определяется неравенствами , , то

= .

Замечание 1. Если область S является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , , то

= .

Замечание 2. Если область V является стандартной в направлении каждой координатной оси и её проекции на координатные плоскости являются стандартными в направлении каждой соответствующей оси, то пределы интегрирования в трёхкратном интеграле можно расставить шестью различными способами.

Замечание 3. Если V ─ прямоугольный параллелепипед, определяемый неравенствами , , , то

= .