6.2. Определители третьего порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка

А = .

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А, называется число, вычисляемое по формуле

│А│= = .

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «плюс», а какие ─ со знаком «минус», полезно запомнить правило, называемое правилом треугольника:

= ─ .

Рассмотрим ещё один способ вычисления определителя третьего порядка.

Определение. Минором M_ij элемента a_ij определителя называется определитель, полученный из данного вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя называется его минор M_ij, взятый со знаком (-1)^i+j.

Теорема 1. Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Док-во. По определению

= . (1)

Выберем, например, вторую строку и найдём алгебраически дополнения А₂₁, А₂₂, А₂₃:

А₂₁ = (-1)²⁺¹ = -( ) = ,

А₂₂ = (-1)²⁺² = ,

А₂₃ = (-1)²⁺³ = - ( ) = .

Преобразуем теперь формулу (1)

│А│= ( ) + ( ) + ( ) = А₂₁ + А₂₂ + А_23.

Формула

│А│= А₂₁ + А₂₂ + А_23.

называется разложением определителя │А│ по элементам второй строки. Аналогично разложение можно получить по элементам других строк и любого столбца

6.3. Определитель n-го порядка (n  n).

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице n-го порядка

А =

называется число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

│A│= А_i1 + A_i2 + … + A_in = А_1j + A_2j + … + A_nj

Нетрудно заметить, что при n = 2 получается формула для вычисления определителя второго порядка. Если n = 1, то по определению будем считать |A|=|a |=a .

6.4. Свойства определителей.

Определение. Матрицу вида

или

будем называть треугольной матрицей.

Свойство 1. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали, т.е.

= = .

Свойство 2. Определитель матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю.

Свойство 3. При транспонировании матрицы определитель не изменяется, т.е.

│А│= │А^t│.

Свойство 4. Если матрица В получается из матрицы А умножением каждого элемента некоторой строки на число k, то

│В│= k│А│.

Свойство 5.

= + .

Свойство 6. Если матрица В получается из матрицы А перестановкой двух строк,

то│В│= −│А│.

Свойство 7. Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю, в частности, нулю равен определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.

Свойство 8. Определитель матрицы не изменяется, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки матрицы, умноженные на некоторое число.

Замечание. Так как по свойству 3 определитель матрицы не меняется при транспонировании, то все свойства о строках матрицы верны и для столбцов.

Свойство 9. Если А и В ─ квадратные матрицы порядка n, то │АВ│=│А││В│.