20.1. Интегралы с бесконечными пределами.

Пусть функция непрерывна при любом . Рассмотрим определённый интеграл с переменным верхним пределом

.

Предположим, что при функция имеет конечный предел; этот предел называется сходящимся несобственным интегралом от функции по промежутку и обозначается

.

Если же этот предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Геометрически несобственный интеграл от неотрицательной функции выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева  прямой , снизу  осью (В случае сходящегося интеграла эта площадь является конечной, в случае расходящегося  бесконечной) (Рис.20.1.).

Е сли  первообразная для , то

= =

= , где = .

и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределам

и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами + , где с  любая точка из интервала .

С помощью следующих двух теорем можно исследовать вопрос о сходимости некоторых несобственных интегралов.

Теорема 1. Если при выполнены неравенства и сходится, то сходится и , причём

 ;

если же расходится, то расходится и интеграл .

Теорема 2. Если в промежутке функция меняет знак и сходится, то сходится также .

20.2. Интегралы от неограниченных функций.

Если функция не ограничена в окрестности точки с отрезка и непрерывна при и , то несобственный интеграл от этой функции определяется формулой

= + , где (1)

В случае, когда или , получаем

= (2)

= (3)

Несобственный интеграл (2) или (3) называется сходящимся, если существует конечный предел соответствующего определённого интеграла; в противном случае интеграл называется расходящимся. Несобственный интеграл (1) называется сходящимся, если существует и конечны оба предела в правой части.

Для интегралов от неограниченных функций справедливы теоремы, аналогичные теоремам 1 и 2.

21.1. Основные понятия.

Определение. Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений ( ) из некоторого множества X соответствует одно вполне определённое значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = ( ).

Пример. Формула V = R²H задаёт объём цилиндра V как функцию двух переменных V(R;H), где R − радиус основания, H − высота цилиндра.

Переменные называются независимыми переменными или аргументами, z зависимой переменной, а символ означает закон соответствия. Множество X называется область определения функции.

Рассмотрим некоторые примеры функции нескольких переменных:

1. Функция z = , где , − постоянные числа, называется линейной.

2. Функция z = , где − постоянные числа, называется квадратической.

3. Одно из базовых понятий экономической теории − функция полезности. Эта функция z = ( ), выражающая полезность от n приобретённых товаров . Чаще всего встречаются следующие её виды:

а) z = , где , , − логарифмическая функция;

б) z = , где , , − функция

постоянной эластичности.

4. Также часто в экономике встречается понятие производственной функции, выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов. Например, при n = 2 для величины общественного продукта z = , где − затраты труда, − объём производственных фондов, − постоянные числа.

В дальнейшем будем вести изложение для функции двух переменных (n= 2). При этом, практически все понятия и теоремы, сформулированные для n =2, легко переносятся и на случай n > 2 кроме того, рассмотрения двух переменных позволяет использовать наглядную иллюстрацию.