19.3. Свойства определенного интеграла.

3.1. По определению полагаем

= 0.

3.2. при перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный, т.е.

= − .

3.3. Свойство аддитивности.

Если промежуток интегрирования [ ] разбит на конечное число отрезков , , …, , то

= + + … + .

3.4. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

= .

3.5. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций,

= +…+ .

3.6. если функция интегрируема на [ ], где , и ≥0 для всех [ ], то

≥ 0.

3.7. Если функции , φ(x) интегрируемы на [ ], где , и ≤ φ(x) для всех [ ] , то

≤ .

3.8. Если функция интегрируема на [ ], где , то функция │ │ также интегрируема на [ ], причём

.

19.4. Теорема об оценке определённого интеграла. Теорема о среднем.

Теорема (об оценке определённого интеграла).

Если функция интегрируема на отрезке [ ], где , и для всех [ ] выполняется неравенство

m ≤ ≤ M,

то

m ≤ ≤ M . (*)

Доказательство. На основании свойства 3.7 из неравенства m ≤ f(x) ≤ M находим, что

≤ ≤ .

Из свойства 3.4 имеем

≤ ≤ .

Покажем, что = . Действительно,

= = = .

Теперь получаем

m ≤ ≤ M .

Теорема доказана.

Неравенство (*) позволяет оценить определённый интеграл, т.е. указать границы, между которыми заключено его значение.

Теорема (о среднем значении).

Если функция непрерывна на отрезке [ ], то на этом отрезке существует точка такая, что

= (**)

Формула (**) называется формулой среднего значения.

Доказательство. Так как функция непрерывна на [ ], то по второй теореме Вейерштрасса, существует числа m и M такие, что

f(x) = m ≤ ≤ M = f(x).

Тогда по теореме об оценке определённого интеграла находим

m ≤ ≤ M

и следовательно,

m ≤ ≤ M.

Положим = μ, (m ≤ μ ≤ M).

Так как μ заключено между наименьшим и наибольшим значениями непрерывной функции на [ ], то, учитывая вторую теорему Больцано-Коши, можем указать точку [ ] такую, что = μ.

Таким образом,

= .

Теорема доказана.

19.5. Определённый интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим функцию , интегрируемую на [ ]. Если [ ], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке [ ]. Предположим, что меняется на [ ], тогда на этом интеграле определена функция

Ф( ) = ,

Где ─ переменная интегрирования, ─ переменный верхний предел. Эту функцию называют определённым интегралом с переменным верхним пределом.

Свойство 1. Определённый интеграл с переменным верхним пределом является непрерывной на [ ] функцией.

Свойство 2. Если подинтегральная функция непрерывна, то производная определённого интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подинтегральной функции для этого предела интегрирования, т.е.

= f(x).

Следствие. Определённый интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подинтегральной функцией, т.е. для любой непрерывной функции существует производная.

Связь между определённым и неопределённым интегралами выражает следующая теорема.

Теорема (о формуле Ньютона-Лейбница).

Пусть функция непрерывна на отрезке [ ]. Тогда, если функция F(x) является некоторой её первообразной на этом отрезке, то справедлива следующая формула

= F( ) – F( ).

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство. Пусть Ф(х) является первообразной для функции на [ ]. Пусть F(x) ─ некоторая постоянная. Подставим в последнее равенство .

Тогда

= F( ) + C,

т.е. О = F( ) + C, откуда С = − F( ).

Итак, для любого [ ] = F( ) – F( ).

Полагая , получим = F( ) – F( ).

Теорема доказана.

Разность F( ) – F( ) принято условно записывать в виде F( ) . Тогда формула Ньютона-Лейбница принимает вид

= F( ) .

Эта формула не только устанавливает связь между определённым и неопределённым интегралами, но и даёт простой метод вычисления определённого интеграла.