- •Философия образования
- •Предисловие
- •Сценарии формирования ученика
- •Предисловие
- •Введение
- •Часть 1. Нормативный анализ сценариев школьника
- •1. Первичные варианты сценариев «Семья»
- •1.1. «Опекун» Урок учителя опекуна.
- •Ученики в сателлитной группе
- •1.2. «Диктатор» Урок учителя-диктатора
- •Диаграмма лада урока диктатора (схема 1.4)
- •Проблемы диктатора
- •Дети на уроке диктатора
- •Отношение диктатора к коллективу
- •1.3. «Помощник»
- •Феномены «включения» и «псевдоученик»
- •Проблема ориентированности на коллектив
- •Помощник и его сценарий
- •1.4. «Хулиган» Описание нормы: охота, оборотень, фантазер
- •Впечатления хулигана
- •1.5. Итоги по первичным сценариям «Семья»
- •Варианты поведения ученика в сценариях «Семья»
- •Проявление нормы на уровне восприятия
- •2. Вторичные сценарии
- •2.1. Сценарий «Коллектив»
- •Условия складывания сценария «Коллектив»
- •Стадии развития коллектива
- •Коллектив и отклонения
- •Резюме по сценарию «Коллектив»
- •2.2. Сценарий «Интерес»
- •Классификация интересов
- •Применение интересов
- •Усложнение сценария «Интерес»
- •3. Третичные сценарии
- •3.1. Сценарий «Карьера»
- •Модель пространства интереса
- •Пример развития генератора
- •3.2. Сценарий «Богатство» Богатство и коллекция
- •Элементы динамики коллекции
- •Модель пространства коллекции
- •4. Обобщение стихийных сценариев
- •4.1. Итог стихийного формирования ученика в школе
- •4.2. Заключение по нормам
- •4.3. Выводы
- •4.4. Цель воспитания ученика в начальной школе
- •Часть 2. Индивидуальное обучение
- •1. Проявление интереса
- •1.1. Типы интереса и обычная школа
- •1.2. Процесс обучения
- •1.3. Проявление интересов в обычной школе
- •1.4. Динамика пространств и ограниченность дополнительных интересов
- •1.5. Интерес на уроках: первые выводы
- •1.6. Общая стратегия: ребенок – ученик – человек
- •2. Структура интереса: игра-коллекция
- •2.1. Схема игры
- •2.2. Модель коллекции (коллекционирование марок)
- •2.3. Сравнение игры и коллекции
- •2.4. Задача формирования ученика
- •3. Проблема перехода
- •3.1. Тетраэдр интересов. Постановка проблемы
- •3.2. Постановка методики параллельности интереса
- •3.3. Тип урока и тип учителя
- •3.4. Совершенствование типа или универсализация
- •3.5. Местодействие процесса обучения
- •3.6. Взаимопереходы деятельностей
- •4. Модель индивидуального обучения
- •4.1. Диалог как нормативная коррекция
- •Классификация и коррекция норм по вместимости
- •Коррекция нормы и диалог
- •4.2. Интерес Подпространства интереса
- •Коррекция местодействия
- •Учитель для индивидуального обучения
- •4.3. Стиль мышления
- •Заключение
- •Список схем
- •Часть I
- •Часть II
- •Человек будущего в системе образования
- •Три типа школ. Вместо введения
- •1. Индивидуальность в системе мегамашины
- •1.1. Римская мегамашина из типа гражданина
- •1.2. Традиционные типы мегамашин
- •1.3. Мегамашина в промышленном перевороте
- •1.4. Два типа утопии
- •1.5. Империи: индустриализация и коммуникация
- •1.6. Изменение характера генерации будущего
- •1.7. Коллекционный характер современной культуры
- •Связь коллекции с футурошоком
- •1.8. Выводы
- •2. Специфика русского взгляда на будущее
- •2.1. Русский менталитет
- •Русский нигилизм
- •Комплекс начальника советского человека
- •Фронтальный урок
- •Смысл схемы диалога и коллектива
- •2.2. Альтернативные схемы обучения
- •Постмодернистская схема
- •Усложнение схемы
- •Сциентистская модель
- •Модель ритуального действия
- •Диалог культур
- •Производство
- •Компьютерная школа
- •2.3. Выводы: к коррекции обычной школы
- •Система проверки знаний в школе
- •О стиле мышления
- •«Принцип вертушки»
- •Раздвоение класса
- •Запись уроков
- •Картотека знаний
- •3. Конкретные методики
- •3.1. Математика
- •Поразрядное умножение
- •Табличное деление
- •Бином сложения
- •Задача о магических квадратах
- •Математическая интерпретация симулякра на примере решения магического квадрата 5 × 5
- •Заполнение всех квадратов ходом коня
- •Геометрия признаков делимости
- •Поиск закона простых чисел
- •3.2. Литература и художественный диалог
- •Авторский диалог ф. М. Достоевского
- •Специфика «совпадений» Онегина и Обломова
- •Александр Блок. Прочтения из авторского диалога
- •Часть 1. В центре барышня и мир врагов и бродяг; вне и внутри русского человека.
- •Часть 2. Главный – солдат.
- •Часть 3. Думы самих 12.
- •Часть 4. Ванька и против – Катька.
- •Часть 5. Ситуация у Катьки: отрицание прошлого, отрицание святого. С одной стороны, прошлое сломало святое, с другой – попытка обернуть прошлое породило диктатуру.
- •Часть 6. За чужую девчонку – убили саму девчонку.
- •Часть 7. Горе мое – всем горе. Как от своего горя переходит герой к желанию горя всем.
- •Часть 8. Угроза: я и они.
- •Часть 9. Враг на перекрестке в растерянности.
- •Часть 10. Буря в природе и социуме.
- •Часть 11. Движение вперед с незримым.
- •Часть 12. Идут в войне с природой.
- •3.3. Учение о ноосфере как картина мира
- •Астрофизическая эволюция
- •Геологическая эволюция
- •Биологическая эволюция
- •Методологические выводы
- •Социальная эволюция
- •Технологическая эволюция
- •3.4. Фрагменты
- •Конспекты
- •Тесты-тексты
- •Конференции
- •Раздел 1. География России.
- •Раздел 2. Районы России.
- •Раздел 1. География России.
- •Раздел 2. Районы России.
- •Часть 1-я. Отрасли. 1. Общее. Ресурсы, занятость, размещение.
- •Часть 2. Экономика территорий. 1. Районы. Центральная Россия.
- •4. Приложения
- •1. Расписание в системе погружения
- •2. Уровни конспектирования и конференции
- •3.1. Фрагмент «машины» по математике
- •3.2. Русский язык: «Машина» для 8-го класса
- •4. Сказка и русская мифология
- •1. Пояснительная записка
- •2. Учебно-тематический план
- •5. Фантастика
- •1. Пояснительная записка к спецкурсу «Фантастика»
- •2. Учебно-тематический план
- •3. Содержание курса
- •Часть 1. Ознакомительная. Просмотр видеофантастики. Дважды.
- •Часть 2. Ознакомительная. Чтение фантастического рассказа.
- •Часть 1. Ознакомительная. Просмотр видеофантастики.
- •Часть 2. Ознакомительная. Чтение фантастического рассказа.
- •Часть 3. Итоговая.
- •4. Требования к уровню подготовки ученика
- •5. Учебно-методическое обеспечение
- •К курсу фантастики
- •6. География в начальной школе
- •1. Пояснительная записка
- •2. Учебно-тематический план
- •3. Содержание курса
- •4. Требования
- •5. Перечень методического обеспечения
- •7. «Сшибки»
- •1. Проверяемые безударные гласные в корне слова
- •2. Непроверяемые безударные гласные в корне слова
- •3. Чередующиеся гласные в корнях (а//о)
- •4. Проверяемые звонкие и глухие согласные в корне
- •5. Непроизносимые согласные в корне
- •8. Проект оболочки для начальной школы
- •1. Электронные и бумажные ресурсы по русскому языку и чтению
- •2. Математика
- •3. Вспомогательные оболочки
- •4. Специальная оболочка
- •9. Принципы построения учебных материалов ргк (русского гуманитарного комплекса)
- •Введение в систему конспектирования
- •Часть1. Приведение предложения к норме простого.
- •Пример конспекта
- •Работа с аудиофильмами
- •Введение в печатные диктанты
- •История: «хронологическая энциклопедия»
- •Корректирующая игровая система «Частотный анализ орфографических ошибок и опечаток»
- •Программа «Сшибки»
- •Типы прочтения и структура диалога как принцип реорганизации материала по литературе
- •Технология «конференций» и «интроференций»
- •Система учебных словарей
- •Расширение работы со словарем. Обучающие игры
- •Энциклопедия русских писателей
- •Энциклопедия российской культуры
- •Принципы индивидуализации
- •Лаборатория подготовки уроков
- •Лаборатория записи уроков
- •Принцип использования игр
- •Коллекция-картотека
- •Принципы работы с видео
- •Принципы электронизации
- •Конструктор слов и предложений
- •Заключение
- •С чего начать
- •Об алгоритме реализации идеала
- •Ученик в системе когнитивного капитала.
- •Содержание
- •Часть 1. Нормативный анализ сценариев школьника 10
- •Часть 2. Индивидуальное обучение 117
Поразрядное умножение
Ребенок в 5-м классе не знает таблицу умножения, а его надо учить перемножению столбиком. Как быть? Ответ дает поразрядное умножение. Проанализируем его механизм. Дан пример. Умножить 7583 на 69. Вначале перемножаем 503 на 9, во второй строке – 7080 на 9, в третьей 505 на 60, наконец, в четвертой – 7080 на 60. Это выглядит так:
7 5 8 3
× 6 9
4 5.2 7
6 3.7 2
3 0.1 8
4 2.4 8
5 2 3 2 2 7
Сложение четырех вместо двух строк сложнее, но ошибок меньше из-за того, что нет переносов при записи результатов промежуточного умножения. Больше сложностей со сдвигом по разрядам, однако после понимания сдвига ошибок от умножения на числа типа 101, 1001 становится меньше.
Главное преимущество этого способа в том, что произведения, записанные между линиями, это всегда пары чисел, которые представляют собой воспроизведение таблицы умножения. Таким образом, каждое умножение становится повторением таблицы умножения. Ребенок получает четкую ориентацию в переносе разрядов и вникает в математическую по своему характеру игру с произведениями, в противовес следует больше внимания уделить различию простых и производных чисел. То есть навык должен быть подкреплен знакомством с числовым рядом и законом простых чисел.
Этот пример дает разворачивание навыка с выигрышем времени. Встает вопрос о возможности объяснения умножения столбиком параллельно с разбором таблицы умножения и ее изучением. Здесь навык повторяется в силу самого содержания действия.
Табличное деление
Другой пример – деление столбиком. Обычно в школе это действие сводится к многократному умножению. Если делится многозначное число на двузначное, то деление превращается в многократное перемножение двузначного числа на однозначные, чего нет в таблице умножения. Для «оптимизации» этой ситуации вводится (в отдельных вариантах программы для начальной школы) «примерное деление», которое позволяет сузить набор чисел, на которые умножается двузначное. На самом деле математика уже решила эту проблему и совершенно иначе. Вспомним таблицы Брадиса. Ее использование порождает процедуру табличного деления. Но в этом случае возникает возможность создания креативной ситуации для ученика, когда он в состоянии открыть закономерности и метод самостоятельно.
Итак, следует дать пример как можно более сложный, например:
1 234 567 898 123 456 789 123 456 789 : 17 =
Отметим, что чем длиннее делимое, тем больше вероятность открытия табличного деления. Можно давать ребенку несколько примеров, и чтобы все делились на 17. В конце концов ученик открывает, что эти примеры проще решать, сделав таблицу умножения на 17:
17×1 = 17, 17×2 = 34, 17×3 = 51, 17×4 = 68,
17×5 = 85, 17×6 = 102, 17×7 = 119, 17×8 = 136,
17×9 = 153
Деление после этого перестает быть многократным умножением, становится легким и понятным, и проблем в дальнейшем с ним не возникает, зато открывается система стимуляции для ученика. Ученики могут в качестве домашнего задания делать примеры для всего класса для определенного набора двузначных чисел. Есть требования по подбору чисел (например, принцип минимального повторения цифр в примере). Так, ученик получает задание сделать по 20 примеров десятизначных чисел, делящихся на два двухзначных, пусть 11 и 17. Составление примера осуществляется по такому алгоритму: нужно подобрать 10 цифр и делить их на 11 и 17, после чего отнять от исходного примера остаток от деления или прибавить недостающее. Таким образом, ученик готовит примеры для других. А работа остальных по решению данных примеров может интерпретироваться как проверка этих примеров всем классом.
Для оптимизации навыка табличного деления ученик после открытия способа составления таблиц для одного, двух двузначных чисел, получает сокращенную таблицу для деления на двузначные числа. Затем распечатывается аналогичная таблица для дву- и трехзначных. Они отличаются от таблиц Брадиса тем, что сокращены объяснения. Тут умножение на 1 одновременно название строки, и таблицы помещаются на один печатный лист (10-го кегля). По крайней мере, на один с двух оборотов (14-го кегля), в этом случае лучше делить таблицу пополам. До 50 с одной стороны, с 51 до 99 с другой. Усложнение отсылает ученика к таблице Брадиса. Но достаточно иметь таблицу трехзначных чисел. Некоторые ученики могут получить задание сконструировать такую таблицу. Они могут пользоваться наработками других по выпавших тем числам.
Пример табличного деления имеет двойной смысл: с одной стороны, он показывает, что ребенок получает возможность самостоятельно конструировать свое обучение, с другой – происходит демонстрация разделения навыка, когда оказывается, что само по себе деление, «очищенное» от многократного умножения, – просто. Наступает понимание у ученика, после которого возможен и возврат в обычную методику.
Важный вывод из демонстрации поразрядного умножения и табличного деления состоит в том, что разделение и соединение навыков возможно, во-первых, самостоятельно, во-вторых, иначе, более оптимально как по отношению к организации материала, так и по отношению к организации действий ученика. Еще один вывод состоит в том, что математика – это нечто парадоксальное. Так, чем сложнее пример, тем интереснее он и проще решается, тем больше творчества требует. Освоение материала по вычислению проще для ребенка в том случае, если материал скомбинирован в сложнейшие, но однородные задания. Если примеры будут такими: четырехзначные числа делятся на двухзначные, и всегда разные, то ребенок не будет искать алгоритма табличного деления. Но после табличного деления он начинает искать как математик, и это следует поощрять.
Таблица квадратов
Демонстрацией сравнения стиля вычисления и математики является тест на заполнение таблицы квадратов.
Таблица № 1.
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
1 |
100 |
121 |
144 |
169 |
196 |
225 |
256 |
289 |
324 |
361 |
2 |
400 |
441 |
484 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
900 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
7900 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
6400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
8100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В таблице по вертикали единицы, по горизонтали десятки. На пересечении нужно поставить квадрат получаемого числа.
Задание – заполнить таблицу квадратов до 100.
Суть теста. У человека с высшим техническим образованием на заполнение такой таблицы без применения калькулятора уходит около 40 мин. Это если квадраты получаются перемножением. Однако в таблице так много закономерностей, что математический ум найдет способ заполнить таблицу без перемножения гораздо быстрее. Для примера: заполнение такой таблицы во второй раз, т. е. со знанием закономерностей, требует у ученика 3-го класса 5 мин.
Следовательно, для человека, заполняющего таблицу путем вычисления или перемножением уходит больше времени, чем у человека, походящего к решению со стороны поиска закономерностей или с математическим стилем мышления.
Закономерность достаточна простая, более того, таких закономерностей не менее десятка, и все они ускоряют заполнение, но покажем самые эффективные шаги, с помощью которых таблица заполняется максимум за 2 мин. Во-первых, в столбиках единицы у квадратов сохраняются, так что их можно переносить вниз (2 × 2 = 4, 12 × 12 = 144, 22 × 22 = **4, 32 × 32 = **4 и т. д.), и остается подсчитывать только десятки. Более того, в столбике с единицами 5 сохраняется две цифры. Все квадраты оканчиваются на 25, а 0 дает 00. Эти столбики можно использовать для проверки. Отметим, что в первоначальной таблице показаны две строки квадратов, которых уже достаточно, чтобы закономерность выявить и проверить.
Первым шагом закономерности является переделанная формула квадрата суммы: (A+1)2 = А2 + (А) + (А+1), т. е. квадрат следующего числа, после известного, будет равен квадрату предыдущего, плюс сумма самих чисел, предыдущего и последующего. Так, чтобы получить квадрат 31, зная квадрат 30, надо к квадрату 30 (900), прибавить 30 и 31, и получится 961.
На основе этой формулы можно выявить, как нарастают десятки. В самом деле, число прибавляемых десятков зависит от двух параметров. Во-первых, от строки, 2 + 2 = 4, а 3 + 3 = 6, и это легко, во-вторых от суммы единиц: если складываются числа 1 и 2, 2 и 3, то прибавляется удвоенное число знаменателя строки, или величины десятка: если складываются 3 и 4, 4 и 5, 5 и 6, 6 и 7, то к удвоенному десятку надо прибавить еще один десяток, для остальных случаев прибавляется к удвоенному десятку два десятка.
Эта закономерность в двух заполненных строках уже имеется. При переходе от 0 к 1 прибавляется 0 десятков, от 1 к 2 – 0, и т. д., получается:
Таким образом, в рамках одной строки, т. е. десятка, прибавляется три варианта: 0 до 3-й единицы, 1 от 4-й до 7-й единицы и далее 2. Во второй строке соответственно 2, 3, 4. Эту закономерность можно продолжить, каждый раз нужно прибавлять на два десятка по вертикали и сохранять последовательность по горизонтали: на один десяток больше прежней суммы, при переходе от 3 к 4 и от 7 к 8. Между 3‑4 и 7‑8 переходами прибавляется нечетное число десятков, т. е. четыре раза, а в остальных случаях – прибавляется четное число десятков – остальные шесть столбцов.
Таблица № 2
Ед
дес |
От 0 к 1 |
От 1 к 2 |
От 2 к 3 |
От 3 к 4 |
От 4 к 5 |
От 5 к 6 |
От 6 к 7 |
От 7 к 8 |
От 8 к 9 |
От 9 к 10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
3 |
4 |
4 |
4 |
Это можно проверить:
10 + 11 = 21, 11 + 12 = 23, 12 + 13 = 25, затем 13 + 14 = 27, 14 + 15 = 29, но так как прибавление идет к числу с единицами 9, 6, то прибавляется еще один десяток.
Далее: 15 + 16 = 31, 16 + 17 = 33, а затем в случае 17 + 18 = 35, 18 + 19 = 37 и 19 + 20 имеем 39, но так как прибавление идет к числу с единицами 9, а потом 4 и потом 1, то остается прибавлять на десяток больше, за счет этого прибавление четных десятков чаще, чем нечетных.
Итак, полученная закономерность реализуется так. 21 в квадрате получаем так: к 40 десяткам прибавляем 4 и в разряд единиц переносим 1, получаем 441, для 22 аналогично, к 44 прибавляем 4 и переносим в единицы 4 = 484, для 23 к 48 прибавляем 4 десятка и переносим 9 = 529, для 24 – к 52 прибавляем уже 5 десятков и переносим в единицы 6 = 576, для 25 к 57 прибавляем 5 и переносим 5 = 625 и т. д.
Складывая десятки и дописывая единицы, мы получаем максимально эффективный алгоритм заполнения таблицы квадратов. Подобного типа закономерность будет искать математик, и первоначально он отстанет от вычислителя, но потом заполнение будет ускоряться, а у вычислителя перемножение останется единственным алгоритмом, и числа становятся больше, поэтому будет происходить замедление вычисления.