- •Федеральное агентство по образованию
- •655800 «Пищевая инженерия»
- •Предисловие
- •Введение
- •Часть 1
- •1. Основные физические свойства жидкостей и газов
- •Значения константы фазового равновесия, mp·10-8, Па
- •2. Гидромеханика однофазных потоков
- •2.1. Кинематика сплошной среды
- •2.1.1. Методы задания движения и виды движения
- •2.1.2. Деформационное и вращательное
- •2.2. Основные уравнения движения жидкости
- •2.2.1. Уравнение неразрывности (сплошности) потока
- •2.2.2. Уравнения переноса импульса
- •Уравнение движения в напряжениях
- •Уравнения движения вязкой сплошной среды
- •2.2.3. Уpавнение энеpгии
- •2.3. Статическое состояние сплошной среды
- •2.3.1 Уpавнение гидростатического pавновесия
- •2.3.2. Равновесие жидкости в поле силы тяжести
- •2.3.3. Удельная потенциальная энергия,
- •2.3.4. Приборы для измерения давления
- •2.3.5. Закон Паскаля
- •2.3.6. Равновесие жидкости в поле центpобежных сил
- •2.3.7. Сила давления жидкости на плоскую
- •2.3.8. Закон Архимеда. Условия плавания
- •2.4. Динамика идеальной сплошной среды
- •2.4.1. Уpавнение Беpнулли
- •2.4.2. Одномерное движение сжимаемого газа
- •2.4.3. Скорость звука
- •2.4.4. Движение газов в канале с переменной площадью
- •2.4.5. Плоские потенциальные течения
- •2.4.6. Теорема н.Е. Жуковского о подъемной силе
- •2.5. Динамика вязкой жидкости
- •2.5.1. Режимы течения
- •2.5.2. Гидродинамическое подобие
- •2.5.3. Уpавнение Беpнулли для потока вязкой жидкости
- •2.5.4. Расчет потерь напора в местных сопротивлениях
- •2.5.5. Основное уравнение равномерного движения
- •2.5.6. Ламинаpные течения
- •Течение в плоском канале
- •Течение в тpубе с круглым поперечным сечением
- •Течение Куэтта
- •Некоторые примеры инженерных расчетов
- •2.5.7. Туpбулентное течение
- •Понятие о гидpавлически гладких и шеpоховатых тpубах
- •Потеpи энеpгии в гидpавлически гладких тpубах
- •Потеpи энеpгии в гидpавлически шеpоховатых тpубах
- •2.6. Гидравлический расчет трубопроводных систем
- •2.6.1. Основы расчета коротких трубопроводов
- •2.6.2. Типовые задачи расчета коротких трубопроводов
- •2.6.3. Основы расчета длинных трубопроводов
- •2.6.4. Типовые задачи расчета длинных трубопроводов
- •2.6.5. Неизотермическое движение жидкостей
- •2.6.6. Движение в каналах вязкого газа
- •2.7. Истечение жидкости чеpез отвеpстия и насадки
- •2.7.1. Истечение чеpез малые и большие отвеpстия
- •2.7.2. Истечение чеpез внешний цилиндpический насадок
- •2.7.3. Истечение пpи пеpеменном напоpе
- •2.7.4. Движение потоков в диффузоpах
- •Гидpодинамические хаpактеpистики диффузоpов
- •2.8. Неустановившееся движение жидкости
- •2.8.1. Уравнение Бернулли для неустановившегося движения
- •2.8.2. Постепенное перекрытие трубопровода
- •2.8.3. Мгновенное перекрытие трубопровода
- •2.9. Гидравлические методы измерения расхода жидкостей
- •2.10. Гидравлические струи
- •2.10.1. Незатопленные струи
- •Воздействие струи на твердую преграду
- •2.10.2. Затопленные струи
- •2.11. Течение со свободной поверхностью
- •3. Гидромеханика двухфазных потоков
- •3.1. Области распространения двухфазных потоков в пищевой технологии
- •3.2. Основные понятия и определения гидродинамики газо(паро)жидкостных потоков
- •3.3. Режимы течения газожидкостных потоков
- •3.3.1. Режимы течения в веpтикальных каналах
- •3.3.2. Режимы движения в гоpизонтальных тpубах
- •3.4. Элементарные процессы образования газожидкостных смесей
- •3.5. Истинное объемное газосодеpжание
- •3.5.1. Газосодеpжание в аппаpатах колонного типа
- •3.5.2. Газосодеpжание в тpубчатых аппаpатах
- •3.5.3. Паpосодеpжание пpи изменении агpегатного состояния
- •3.6. Потеpи энеpгии на гидpавлическое тpение
- •3.6.1. Потеpи энеpгии по длине
- •3.6.2. Потеpи энеpгии по длине в каналах
- •3.6.3. Потеpи энеpгии на пpеодоление
- •3.6.4. Инеpционные потеpи
- •3.6.5. Потеpи энеpгии на пpеодоление давления
- •3.7. Пленочное течение двухфазного потока
- •3.8. Распыление жидкостей
- •3.8.1. Гидравлический способ
- •3.8.2. Механический способ
- •196084, Санкт-Петербург, ул. Коли Томчака, д. 28
2.2. Основные уравнения движения жидкости
2.2.1. Уравнение неразрывности (сплошности) потока
Уравнение неразрывности (сплошности) потока выражает закон сохранения массы для движущейся сплошной среды. Выделим в пространстве произвольный объем жидкости c поверхностью , через который проходит поток жидкости (рис. 2.8.)
Масса жидкости в объеме Изменение массы во времени в объеме связано с изменением плотности, т. е.
(2.19)
Рис. 2.8. Схема к выводу уравнения
неразрывности потока
С другой стороны, это изменение возможно только за счет притока жидкости через площадь поверхности
(2.20)
Значения массового расхода в уравнениях (2.19) и (2.20) равны, поэтому
(2.21)
Преобразуя поверхностный интеграл в объемный по формуле Остроградского–Гаусса, получим
(2.22)
Подставив уравнение (2.22) в выражение (2.21), запишем
Поскольку объем произволен и пределы интегрирования не ог-раничены, можно приравнять к нулю подынтегральную функцию. В результате получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме
(2.23)
Равенство нулю суммы слагаемых в уравнении (2.23) означает, что масса движущейся среды остается постоянной, т. е. отсутствует приток или отток жидкости. Однако в некоторых случаях такое условие не соблюдается. Примером тому могут служить потоки, в которых происходят химические реакции с образованием новых веществ, изменяется фазовое состояние (образование паровых или газовых пузырьков, кристаллов и т. п.). Такие течения называются течениями с переменной массой и рассматриваются в специальных курсах гидроаэромеханики.
Для несжимаемой жидкости , , уравнение (2.23) примет вид
, (2.24)
или в проекциях на координатные оси
(2.25)
Уравнение (2.25) называется также условием несжимаемости.
2.2.2. Уравнения переноса импульса
Движение жидкости происходит под действием различных сил, которые можно разделить на две группы – внутренние и внешние. Внутренними называются силы взаимодействия между частицами жидкости (молекулами). Внешние силы приложены к жидкости извне. Они делятся на массовые и поверхностные. К массовым силам относятся сила тяжести, инерционные силы; к поверхностным – силы давления и трения.
Так как нами принята модель сплошной текучей среды, то при выводе уравнений движения силы межмолекулярного взаимодействия, которые, в свою очередь, описываются специальными уравнениями, непосредственно не рассматриваются. Влияние этих сил учитывается введением коэффициентов молекулярного переноса, в частности коэффициентов вязкости.
Массовые силы пропорциональны массе жидкости и равны произведению массы на плотность распределения этой силы:
(2.26) где
По существу, плотность распределения массовых сил есть ускорение этих сил.
Через проекции на координатные оси вектор может быть представлен в виде
Поверхностные силы пропорциональны площади поверхности, на которую они действуют. Напряжение сил на площадке с нормалью n определяется равенством
Рассмотрим напряжения, возникающие в элементе жидкости в виде тетраэдра (рис. 2.9).
z
x
y
Рис. 2.9. Напряженное состояние элемента жидкости
Напряженное состояние будет определяться суммой массовых и поверхностных сил. Оценим их порядок. Массовые силы , поверхностные − , т. е. на порядок меньше , поэтому массовыми силами пренебрегаем.
Таким образом, будем рассматривать напряженное состояние элемента жидкости под действием только поверхностных сил. Напряжение этих сил выразим через составляющие, совпадающие с направлением осей координат как и .
При произвольном расположении площадки с внешней нормалью n вектор может быть представлен в виде равенства
или в проекциях на координатные оси
,
где и − нормальные и касательные напряжения.
В качестве примера на рис. 2.10 показаны направления нормальных и касательных напряжений в плоскости
z
0
x
Рис. 2.10. Нормальные и касательные напряжения
в элементарном объеме жидкости
Таким образом, вектор напряжения определяется девятью скалярными величинами: и может быть выражен тензором напряжений
(2.27)
Примем условие симметричности тензора (2.27) относительно главной диагонали. Тогда и Таким образом, напряжение определяется только шестью скалярными величинами. В покоящейся жидкости, согласно уравнению (1.6), касательные напряжения равны нулю. Тогда но есть проекции на соответствующие оси, т. е. . Давление в произвольной точке покоящейся среды, равное , не зависит от ориентации площадки в пространстве. В этом заключается важнейшее свойство гидростатического давления.
Давлением в движущейся жидкости постулируется величина
(2.28)
Связь между напряжениями тензора (2.27) и скоростями деформаций тензора (2.11) устанавливается на основе гипотезы Ньютона о линейной зависимости между ними.
Для нормальных напряжений эта связь выражается в виде равенства (по оси )
(2.29) где и – динамические коэффициенты вязкости, причем коэффициент относится только к сжимаемой жидкости.
Суммируя нормальные напряжения , запишем
. (2.30)
Для соблюдения равенства (2.28) необходимо, чтобы в уравнениях (2.29) и (2.30)
(2.31)
Тогда нормальные составляющие тензора можно представить следующим образом:
(2.32)
Касательные напряжения выражаются уравнениями
(2.33)
Уравнения (2.32) и (2.33) выражают обобщенный закон течения Ньютона.