9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

Ю.М. ДАНИЛОВ, Л.Н. ЖУРБЕНКО, Г.А. НИКОНОВА, Н.В. НИКОНОВА, С.Н. НУРИЕВА

Под редакцией

Л.Н. Журбенко, Г.А. Никоновой

Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации

âкачестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим специальности

9

ПРЕДИСЛОВИЕ

В учебном пособии представлен материал, позволяющий студенту получить тот объем знаний, который соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования для бакалавров технического направления.

Основной принцип, который использован авторами при написании учебного пособия, можно сформулировать так: учебное пособие должно выступать в роли «организатора» систематической познавательной деятельности студента, «компаса в море» учебной информации, накопленной человечеством.

При отборе материала для включения в учебное пособие авторы придерживались условия минимальности объема при достаточ- ности информации, содержащейся в нем. Весь материал разбит на четыре части, 13 глав. Первые две части изучаются в течение первого года, третья и четвертая части — в течение второго года обу- чения в вузе. Материал рассчитан на объем 250–300 аудиторных часов. Авторы придерживаются принципов модульной технологии обучения, главы являются теоретической частью обучающих модулей, а их разделы — подмодулями (законченными по своему содержанию информационными дозами). Каждый подмодуль снабжен помещенным в его начале опорным конспектом, который отражает в сжатой форме основной смысл подмодуля и содержит необходимые сведения для практического применения материала подмодуля. Опорные конспекты позволяют получить целостное представление о содержании всего модуля, если читатель возвращается к ним после изучения соответствующего подмодуля и затем всего модуля. Применение опорных конспектов позволило также, по мнению авторов, более компактно и удобно для запоминания преподнести материал подмодулей. Предусмотрено рас-

!

ширение объема подмодулей за счет отсылок к доступным библиографическим источникам.

Основу учебного пособия составляет математический анализ (главы 2—4, 6, 8, 10) и его прикладные вопросы (главы 7, 9, 11). Первая глава посвящена линейной алгебре и аналитической геометрии и может излагаться в первом семестре параллельно дифференциальному исчислению. Понятия комплексных чисел, функций комплексных переменных даются в главе 5 второй части перед изложением интегрального исчисления. Теория вероятностей и математическая статистика содержатся в главе 12 четвертой части.

Авторы при изложении материала придерживались дидактического принципа «от простого к сложному». Так, в подмодуле 2 изу- чение векторов начинается с пространств R2, R3, с которыми студенты знакомились в школе, а затем переходит к пространству Rn. Понятия прямой и плоскости (подмодуль 3) также переносятся на пространство Rn. Следует отметить, что аналитическая геометрия дается как приложение векторной алгебры, и прямая на плоскости, в основном, — как частный случай прямой и плоскости в пространстве. Это позволило объединить данные подмодули в один модуль. Изложение дифференциального исчисления (главы 3, 4), интегрального исчисления (главы 6, 8, 9) и дифференциальных уравнений (главы 7, 11) построено на переходе от одной переменной к нескольким переменным. В теории вероятностей (глава 12) рассматриваются сначала одномерные, а затем многомерные случайные величины. В главе 6 после изучения интеграла Римана приводятся его обобщения — интегралы Римана–Стилтьеса и Лебега.

Авторы стремились вводить математические понятия не формально, а предварительно рассматривая приводящие к ним физи- ческие и геометрические задачи или давая приложения введенных понятий. Рассматривается применение математических методов в математическом моделировании.

Пособие содержит необходимое количество задач и упражнений, позволяющих читателю получить навыки правильного использования изученного материала и иллюстрирующих связь математики с другими дисциплинами.

В подборе материала главы 12 принимал участие доцент Н.К. Нуриев, в подготовке учебного пособия к изданию — доцент О.М. Дегтярева. Авторы выражают им свою глубокую благодарность.

"

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

"— любой

$— существует

$! — существует и единственно

$— не существует

Þ— следует

:— такое что

®— стремится выполнять равенство

--— параллельны и одинаково направлены

-¯ — параллельны и противоположно направлены ^ — перпендикулярность

D, det — определитель

¥— бесконечность, бесконечное множество

N, Z, Q, R, C — множества натуральных, целых, рациональных,

Ì— включает

Í — включает или равно

Η принадлежит

Ï— не принадлежит

Æ— пустое множество

È— объединение множеств

Ç— пересечение множеств

#

Часть 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Излагаются основные вопросы теории определителей, матриц, систем линейных уравнений, векторной алгебры, линейных операторов, квадратичных форм. Включены основные сведения о прямой и плоскости, кривых и поверхностях II порядка. Излагается дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Глава 1

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ÈАНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1.ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Опорный конспект ¹ 1

определитель III порядка

%

Свойства:

10. Транспонирование

20. Разложение по " ðÿäó: det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3, Aij = (-1)i + j Mij — алгебраическое дополнение;

Mij — минор элемента aij

30. Перестановка двух строк (столбцов) Ю смена знака D 40. Условия равенства D = 0

50. Вынесение общего множителя ряда за знак D

60. Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число k ¹ 0, не меняет D

1.2.Системы линейных уравнений. Методы Гаусса

èКрамера

n

åaij xj = bi , i = 1,m

j =1

совместная несовместная

Метод Гаусса — последовательное исключение неизвестных Расширенная матрица

число ее ненулевых строк = rаng(A½B).

&

an1 an2 ... ann

Dj получается из D заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

1.3. Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ

Сложение матриц: С = А + В = (аij + bij) Умножение матрицы на число m: В = mА = (m аij)

Умножение матриц: А — размерности m ´ p, В — размерности p ´ n

C = A × B = (ai1b1 j + ai2b2 j + ... + aipbpj ),

Aij — алгебраическое дополнение аij n

Матричная форма записи СЛАУ:

AX = B, A = (aij ), i, j = 1,n,

Õ = (x j ), B = (bij ) — матрицы-столбцы, det A ¹ 0 Ю X = A-1B

'

1.1. Определители, их свойства

О: Квадратной матрицей n-го порядка называется таблица чи- сел

Числа (аij), i, j = 1,n — элементы матрицы; i — номер стро-

ки; j — номер столбца.

Определителем (детерминантом) II порядка, соответствующим квадратной матрице II порядка, называется число, обозначаемое символом

D º detA = a11 a12 a21 a22

и вычисляемое по правилу D = a11 a22 - a21 a12. Определителем III порядка, соответствующим квадратной

матрице III порядка, называется число, вычисляемое по правилу