2.5.2.Преобразование производных и операторов при замене переменных Галилея. Инвариантность уравнений неразрывности и движения эфира в эйлеровых переменных

Исходные уравнения эфира (4)–(6) записаны в лагранжевых

вольный

( , ( ))/

( , ( ))

переменных. Рассмотрим подробно входящую в них полную

производную по времени

,

где

– произ-

дифференцируемый вектор. Согласно правилу диффе-

ренцирования сложной функции (суперпозиции функций),

=

+

( )

=

(42)

( , ( ))

+

( )

∙ ( ) , ( ) .

Сделаем в этом выражении замену переменных Галилея

Введём обозначение ′′, ′( ) :

(43)

( , ( ))/

аргумент

( )

в ней рассматривается как

второй

ращение

По определению частной производной

во втором аргументе

, ( )

фиксированный, а при-

′ ,

( ) = ′( , ( ) −

)

берётся по первому аргументу. Поэтому при замене в

′

( )

′

этой производной функции

на

щения, что надо учитывать при

член

не зависит от приращения

первого аргумента (фиксирован), а член

зависит от его прира-

вычислении производной:

83

	′,	′		=			′			′=
		( )			′ ,		( )			( )	(44)
			+			′( )					=
	′ , ′( )				−	′ , ′( )			=
						′( )
′, ′( )			−	∙ ′( ) ′, ′( ) .

Таким образом, преобразование частной производной по времени при галилеевой замене (43) приводит к неинвариантному выражению, в котором появляется дополнительный член, содержащий скорость движения штрихованной системы координат . Способы компенсации этого члена в уравнениях Максвелла и обсуждались в работах Лармора, Лоренца, Пуанкаре [108].

Оператор конвективной производной имеет следующее представление через компоненты векторов в произвольной кри-

волинейной системе координат

( )

∙ ( ) =

( )

∙

=

( )

3

=1

=1

( )

,

( )

ных

,=1

и

где

векторы контравариантного и ковариантного локаль-

гональной

= 1

= 0

≠

тивного оператора

базисов,

(см., например: [51, с. 183, 515]). В орто-

системе

при

, и выражение для конвек-

упрощается

84

( )

∙ ( ) =

( )

.

( )

=1

Перейдём в конвективной производной к подвижным коор-

динатам (43)

∙ ( ) , ( ) =

∙ ( ) ′, ′( ) =

3

( )

′ , ′( )

( )

=

3

( ′

=1

3

′ ( )

( )

+ )

′ , ′( )

=1

′

( )

=1

( )

=

(45)

3

′( )

′ , ′( )

=1

+

′

( )

=

′

( )

′

( ) ′,

′

( ) =

+ ∙

′

′

′( )

′

( )

′

( ) .

∙

( )

′,

+ ∙

( )′,

Видно, что конвективная производная (45), также как и частная производная по времени (44), неинвариантна относительно галилеевой замены (43).

Однако в сумме частной и конвективной производных неинвариантные′ = члены, содержащие , дают ноль. В результате, с учётом , выражение полной производной по времени через частные производные в подвижной системе (43) имеет тот же вид, что и в исходной (42):

85

= ′ + ′ ∙ ′ ′ ′′, ′( ′) .

Это доказывает инвариантность полной производной по времени.
Операции градиент, дивергенция и ротор содержат только
ваем, что , ( ) / ( ) =	′ ′,	(	) /′( )
производные по пространству. Применяя полученную на с. 47
формулу	′	′	′ , устанавли-

эти операции являются инвариантными при галилеевой замене переменных (43).

Таким образом, исходные уравнения эфира (4)–(6) можно представить в форме, использующей частные производные,

′

+ ′( ) ∙ ′ ′, ′(′)′′, ′(′) =

(46)

,0 ′′,

′

(′), ′ ′,

′

(′) , ′

′

,

′

(′) ,

1

′( ′)

′

′

′

′

+

′

(′) =

(47)

,

′

∙

( ) ′ ′,

(′)′

1,0

′ ′, ′( ′), ′ ′, ′( ′) , ′

′,

′( ′)

+ ′( ) ′ ′, ′

( ′), ′ ′, ′( ′) , ′ ′, ′( ′) .

(48)

′

= ′ ′, ′(′) −

,

где приняты обозначения

( )==′(′)+

86

′ ′, ′(, ′(),),′ ′,, (′()′), , ′, (′,) ′( ′() )=,=′(′)+= ≡, , .

Уравнения (46), (47) инвариантны относительно преобразования Галилея (43), так как имеют тот же вид, что и в исходной системе координат. В п. 1.3 инвариантность уравнений неразрывности и движения эфира доказана другим способом, исходя из определения производной.

Лагранжево описание движения является исходным при построении механики сплошной среды, так как оно «всегда подразумевается при формулировке физических законов» [14, с. 30]. Переход к эйлеровой форме описания движения связан, в основном, с обеспечением возможности применения хорошо развитых методов математической физики для получения решений уравнений в виде аналитических формул, хотя некоторые задачи можно более успешно решать в лагранжевом подходе [24].

Перейдём в уравнениях (46)–(48) от переменных Лагранжа к

переменным Эйлера, в которых

и

рассматриваются как не-

зависимые друг от друга величины′

. Зафиксируем′

и рассмот-

рим произвольную точку

из области определения′этих уравне-

′

(46)–(48) не выполняются в точке

ний. Допустим, что уравнения′

то траектория′

и

′

. Но, согласно предположению о сплошности среды, через

полняться.

′( ′)

(′, ′(′)

точку в момент времени

обязательно должна пройти какая-

уравнения в точке

) должны вы-

уравнений (46)–(48) в переменных

′

′( ′, ′)

Полученное противоречие доказывает справедли-

вость уравнений при независимых

и . Приходим к записи

Эйлера

′

+ ′ ∙

′(′, ′)′( ′, ′) =

(49)

87

	,0	′ ′, ′, ′(′, ′), ′( ′, ′) ,
1	′		+		′	∙ ′ ′(′, ′)′( ′, ′) =	(50)
	′ ′, ′, ′( ′, ′), ′( ′, ′)
,0			+	′ ′ ′, ′, ′( ′, ′), ′( ′, ′) .			(51)
			′ = ′( ′, ′) − .

Верно и обратное утверждение: из уравнений в эйлеровой

форме (49)–(51) следуют уравнения в лагранжевой форме 46)–
	(′, ′)			(′, ′(′))
(48). Действительно, раз (49)–(51) справедливы в произвольной
точке			, то они справедливы и в точках траектории		.
Вид уравнений (49), (50) не меняется при замене переменных
		неинвариантно, так как переходит в уравнение			/ =
Галилея, поэтому они инвариантны относительно такой замены.
( , )
При этом уравнение скорости изменения координат
Таким				(51), явно

содержащее .

образом, лагранжева и эйлерова формы записи уравнений неразрывности и движения эфира эквивалентны и в подвижной системе координат (43).

Подчеркнём два важных свойства. При преобразовании Га-

лилея (43) скорость изменения координат					неинвари-
антна, а вектор скорости		–	инвариантен. Такие свойства
				( )/
	отмечено в начале п. 1.3, преобразова-
обусловлены тем, что, как ( , )

ние Галилея всегда подразумевает наличие исходной системы

координат, в которой определён вектор скорости среды , а замена переменных в векторе, понимаемом как направленный отрезок, и введение новой системы координат могут привести к изменению проекций вектора на оси координат, но не к изменению длины и направления вектора. Такое понимание инвариантности

88