фектовЖ: силой0		, вызванной	градиентом давления= эфира0 + , возника≈ 0						-
превосходит радиальную скорость						, создаваемую в шарике си-
лой	:	покомпонентно.		Поэтому				.
	Пренебрежём также рядом других						относительно слабых эф-

ющим из-за азимутального вращения шарика, по сравнению с силой ; торможением, возникающим, из-за вязкости эфира, так

как сила внутреннего трения в эфире крайне мала, п. 21.7; тор-

можениемЖ

вращения эфира в шарике, вызванным закручиванием

течения в магнитном поле

тока

во внешнем кольце подшип-

см. п. 11.2.

никаВ, результате из (349) получаем

следующее уравнение, опи-

( ш, ш, ш) с учётом силы Жуковского

Ж

и силы трения тр,

сывающее вращение шарика в подшипнике в системе координат

ш, = −

0

0

( ) 0 ш,

+

0

ш

(350)

( )

ш тр

( ) ш, × ш, ,

2 0 0

( ) 0 +

0

= −

ш тр.

В этой

ш

системе координат для направлений вращения, пока-

тр

и

являются отрицательными,

занных на рис. 32, величины

а величина

– положительной. То0есть последний член в (350)

найти угловую ( )

действительно описывает торможение.

1( )

перименте.

Решение

уравнения (350) и формула (348) позволяют

скорость вращения вала

, измеряемую в экс-

23.13.2. Анализ эфирной модели

Для( )угловой скорости вращения шарика относительно своей оси имеем начальную задачу для о.д.у. (350)

648

= ( ) + ( ),

= 0

(0)

0 тр( )

(351)

≡ −

2 0

0

,

( ) ≡

,

ш

ш

1( ) =

( )

[рад/с],

1 =

1( )

[об/с].

0

− 1

2

0

Решение задачи (351) можно найти, например, с помощью

системы символьных вычислений Maple [247]

( ) = 0

+

( ) − .

(352)

В случае

( )

= 0

( ) =

0

+

−

.

(353)

При

< 0

,

0

,

что имеет

место для подшипни-

ков,

< 0

тр > 0,

решения уравнения

рост

изображённых на рис. 32, модуль

0

по времени.

> 0

< 0 тр

< 0

(353) нарастает во времени. При

вращении подшипников в про-

| |

тивоположную сторону имеем

,

,

и также

Преобразуем

выражение для .

Приблизим объём

объёмом цилиндра

0

где – площадь контакта между шариком и кольцом в области
действия	силы Жуковского, – доля радиуса шарика 0 < ≤ 1.
	649

,

0

0

0

0

0

0

Тогда

входит в коэффициент

, а, следовательно, и в решение

только через массу шарика, если задана его плотность,

= −

02

= −5

= 5

.

/5

Скорость 2

течения эфира через шарик, соответствующую элек-

трическому току, можно вычислить с помощью формулы (143)

| 0|

=

,0 =

,0

,

где

– коэффициент усиления

через шарики,

скорости эфира в области, приле-

гающей

к контакту шарика с кольцом, на которое подано отри-

цательное напряжение,

учитывает течение тока в основном

контакта

находящиеся внизу подшипника.

и число

Приходим к формуле для

, в которую не входит площадь

ускоряющих вращение шариков

= 5

,0

.

(354)

Разложение решения (352)

по формуле Тейлора для относи-

тельно малых

даёт

0

0 (0)

1

2

2

3

(355)

2

0 + (0)

+

+ (

).

Разложение (355) уже позволяет сделать выводы на качественном уровне для относительно малых времён и провести сравнение с экспериментом. Из (355) видно, что при малых скорость вращения подшипника растёт линейно по времени как в

650

эксперименте [328]. Кроме того, так как, согласно (354),						про-
порциональна току , то скорость вращения на малых				временах
растёт линейно с			увеличением тока, что также соответствует экс-
			| |
перименту [328].
функцию		.
Для	получения количественных результатов о вращении
	( )					,	и
двигателя необходимо задать в формуле (352) константы

Известно, что достоверную величину сопротивления под-

шипника вращению можно определить только опытным путём
лённость, связанная с		( )
[340, с. 5], так как оно зависит от многих факторов, в том число
от смазки. Поэтому в задании			имеется некоторая неопреде-
	отсутствием данных о силе трении под-

шипников, использованных в эксперименте [328].

В литературе приводятся различные значения коэффициента трения в различной форме, кроме того, часто приводится не одно значение, а диапазон значений. Например, в [340, с. 5; 341, с. 57; 342, с. 134] дан безразмерный коэффициент трения подшипника, приведённый к его внутреннему диаметру или диаметру вала. В [335, с. 58, 471; 121, с. 132] дано отношение силы трения к нагрузке. В [343, 344] коэффициент трения качения шарика измеряется в единицах длины.

Отметим, что при наличии смазки коэффициент трения в подшипнике качения имеет большое значение при малой нагрузке и быстро уменьшается с её ростом до некоторой определенной величины, дальнейшее изменение которой с увеличением нагрузки сравнительно незначительно в отсутствие силь-

ного разогрева [345, с. 226, 227; 346, с. 256].

В эксперименте [328] используются ненагруженные подшипники. В ненагруженных или легконагруженных подшипниках момент вращения связан, в основном, с сопротивлением смазочного материала и трением тел качения в сепараторе [340, трс. 4]. Эмпирические формулы для вычисления момента трения

подшипников приведены, например, в [347, с. 216–219].

651

В эмпирических формулах для ненагруженного подшипника

уже учтён вес его компонентов и возникающая при вращении
В экспериментах с	тр ≈ 0		,	= 0	и
центробежная сила. Поэтому в этих формулах
остаётся лишь первый член		.	= 0

электродвигателем на подшипниках смазка

удаляется из подшипника для обеспечения лучшей проводимости [330]. Поэтому трмомент~ 0трения при1 малых скоростях существенно уменьшается , где . Так, например, после неболь-

шого толчка смазанный подшипник совершает долю оборота, а не

смазанный вращается достаточно долго.

По/2данным~ 1 [см[347] , с. 219] для подшипника с внутренним радиусом

	тр		0
Подчеркнём, что величина									в [347, с. 219]
	10 [гс]				так		как означает приложение
является		достаточно большой, 0				≈ 10 [гс см]
силы			для придания вращения относительно небольшому
подшипнику с внутренним радиусом								.
Для силы трения подшипника						получаем следующее харак-
							~1 [см]
терное значение					~ 10 [гс] ≈ 9.8 103 [дин].
		тр ~		тр
В				/2

инженерных расчётах больша́я погрешность задания силы трения может быть приемлема при высоких нагрузках на подшипник. Однако такая погрешность вызывает значительные

трудности при анализе экспоненциальных зависимостей. Поэтому в тонких расчётах величина , которая в общем= случае, ( яв) - ляется функцией времени и угловой скорости ,

должна измеряться для конкретного подшипника. В отсутствие

652

скорости её	исходя из				, ( )
	тр						остаётся подбирать
экспериментальных данных об
силу трения	измерению.			соответствия рассчитываемой угловой
Теоретические оценки коэффициента								глубины области
возникновения силы Жуковского и						коэффициента усиления те-
чения эфира на входе в эту область наталкиваются на трудности,
средственно. В
связанные с отсутствием адекватной эфирной теории микро-
мира. Кроме того,			и не наблюдаются в эксперименте непо-

таких условиях также остаётся подбирать и из экспериментальных данных [328–331] и оценивать правдопо-

добность полученных значений исходя из радиуса шарика, ре-

зультатов данной книги и общих соображений. При этом в мо-
	Подчеркнём, что в подборе			и				по измере-
дели имеется фактически не два параметра, а один									, так как в
нию угловой скорости нет					( ) = 0 тр/ ш,
	(354) входит именно произведение					и .
		слишком большого произвола, так как

их относительно малые вариации приводят к резкому изменению
В моделируемых
рассчитанной угловой скорости из-за экспоненциальной зависи-
мости решения (352) от .
	экспериментах подшипники быстро разо-

греваются, так как фактически в них происходит короткое замы-

так, чтобы

( ) =

кание при отсутствии охлаждения. Видимо, поэтому для посто-

1

янной силы трения

не удаётся подобрать параметр

частота вращения вала , построенная с помощью

Согласно (352), частота

0 ≤ ≤ max

max = 10

формул (351) и (353), была близка к экспериментальным данным

близка к эксперименту, м. рис. 33, 1( ) = 1( )/(2 )

на всём промежутке времени

,

[с].

≈

[об/с]

,

вращения вала

, с. 370, и

,,0 ≈

2 ∙ 10−9 [г/, см3]

,0

= [статКулон/см3]

,

0

≈

0.2 0

≈ 1.2 [см]

2

= 33 [ ] = 9.9 10

для значений

[статА]

≈ 0.27 [г]

из [328], при

= 0.4

= 2.8

и

10

,

653

( )

= 0

4

max ,

0 ≤ ≤ 1

,

1

1

1

max

+ 1.5

−

4

max

,

< ≤

где

1 = 4

,

max[c],

2

]

. Такая величина

0

даёт

тр

max = 10

0 =.

37 [1/с

( max) ≈ 2 [дин] ≈ 2 [мгс]

( )

тр

задана для всего 1( )

Число шариков в подшипнике

входит в решение

неявно через

, так как сила трения

подшипника, а не для одного шарика.

Рис. 33. Зависимость частоты вращения вала подшипника от времени. Кружки показывают измерения в [328], линия соответствует решению задачи (351).

При этом характерные величины скоростей составляют

0		(356)

654