плотности потока эфира (производная по траектории равна части полной производной по времени, содержащей дифференцирование по пространственным координатам [51, п. 5.5-3, 16.10-8]).

Более точные формулы для условий на поверхности разрыва могут быть получены из интегральной формы обобщённых уравнений Максвелла, соответствующей обобщённым уравнениям Максвелла в дифференциальной форме (20)–(23), (26)–(29).

7. Вывод закона Био – Савара из уравнений эфира

Рассмотрим задачу о вычислении магнитного поля по электрическому току. Такая задача в случае постоянной плотности эфира рассмотрена в [41–44]. В данном разделе проведено обоб-

щение результатов [41–44].
рей		∙ = 0		в объёме (см., например: [15, с. 280–284; 19, с.
90–		Воспользуемся формулой определения векторного поля
		× = 2
при			по заданному распределению векторного поля вих-
	95; 51, п. 5.7-3]):
( , , ) =						3	, (107
где		– радиус2-вектор, проведённый( − , от−переменной, − )					точки инте-
		. Эта( , , )
( , , )					к рассматриваемой точке с координатами
грирования

формула является чисто математическим утвержде-

нием, не опирающимся на какие-либо представления механики сплошной среды. Но доказывается она обычно в литературе по механике сплошной среды и называется обобщением формулы Био – Савара для завихренного объёма несжимаемой среды (см., например: [19, с. 93]). Поле называется индуцированным полем.

Формула для одного бесконечно тонкого шнура (нити), не обязательно совпадающего с вихревой нитью, получается предельным переходом в (107)

156

= 1

Γ ( ) ×3

− ( ), −

( ), − ( ) ,

4

Γ

− ( ), −

( ),

− ( )

(108)

( ) = lim→0

2 ∙ =

| |→∞

( )

( )

∙ ,

lim→0

| |→∞

( )

( )

точек ( ) ≡ ( ), ( ), ( )

,

– элемент

тарный отрезок кривой

с направлением

где

– параметрическое

представление

площади поперечного

/| |

– элемен-

кривой , задающей бесконечно тонкий шнур,

ление

/| |

,

( )

–

( )

( )

Γ ( )

сечения

шнура, имеющий направ-

[15, с. 285].

границы

сечения

,

контур

– циркуляция (напряжённость) бесконечно

тонкого

Γ ( ) = 2

берётся при условии конечной циркуляции

шнура.

Предел

Если нить (или шнур) совпадает с вихревой нитью (или вих-

ревой трубкой),

то циркуляция является константой и может

быть вынесена из-под знака

интеграла [15, с. 285; 19, с. 93].

Γ

Рассмотрим формулы (107), (108) для векторного поля вида

=

× ( ).

(109)

Условие несжимаемости такого поля, то есть условие примени-

мости формул (107), (108),

157

∙ = ∙

| |

× ( )

| |2

| |2

× ( ) +

× ( )

=

∙

| |2

× ( )

=

= 0

мость поля

, то

| |

= 0

,

∙

= 0

Для объёма

и нити

выполнено, если

. Подчеркнём, что при этом несжимае-

есть условие

, не требуется.

= ×

( )

магнитного поля

согласно эфирному определению

, имеем

=

1

2

1

×

| |2

×

( ) × ;

(110)

4

| |2

3

1

×

= 4

| |2

Γ

3

,

≡ lim→0

×

| |2

× ( ) ∙ =

Γ

( )

( )

→∞

| |2

(111)

lim→0

,

× ( ) ∙

( )

( )

→∞

2

≡

×

| |2

× ( ) .

Выражения (110) и (111) представляют собой эфирные аналоги формулы Био – Савара для объёма и нити. Как отмечено

158

выше, в случае совпадения кривой

с вихревой нитью поля (109)

остаются

Γ

под знака интеграла. Формулы

циркуляцию

можно вынести из-

справедливыми и в случае зависящих от времени

и

.

В п. 2 из уравнений эфира получено соотношение (34)

×

| |2

×

( )

=

4

total,

(112)

≡ +

1

total

.

Данное выражение следует и из4

Тогда

представления (32).

1

total

×

;

(113)

1

=

| |2

3

=

Γ

×

,

Γ

=

lim→0

∙ .

4

| |

4

2

3

→∞

( )

total

( )

Обозначив полный ток в нити

Γ

total

≡ lim→0

total

∙ =

,

4

( )

( )

находим

→∞

1

total

×

.

(114)

= | |2

3

159

из-под			total	постоянен вдоль кривой			, то его можно вынести
Если ток
	знака интеграла. Такая ситуация имеет место, например,
total = Γ /(4 )					Γ
если кривая				совпадает с вихревой нитью поля (109), так как
Для		| | ≈			и установившегося процесса			total =	(частные

производные по времени обращаются в ноль) формулы (113),

(114) выражают известный из эксперимента закон Био – Савара
для постоянных токов (см., например: [28, с. 215])
1	×
=		3	;
= 1		×3		.
Важно подчеркнуть, что	здесь		формулы (113), (114) полу-

чены теоретически на основе уравнений эфира. То есть эти формулы, как и уравнения Максвелла, являются следствиями общих законов движения эфира (4)–(6). Причём (113), (114) обобщают

классический закон Био – Савара на случай скоростей эфира, от-
личных от скорости света, и переменных во времени токов.
0	Выражения (112)–(114) в области их применимости (
этом		можно
	) можно использовать для расчёта магнитного поля по							плотно-
									| | ≈
сти		и скорости			эфира, заданным в объёме		или нити		. При
			использовать готовые результаты из [19, с. 93–95;
лучаем закон Эрстеда [28, с. 216; 31; 41]
15, с. 284–298; 28, с. 216–220; 18, гл. 2].
	В частном случае прямой линии и постоянного тока по-
					2				(115)
					=
					160

тор в

– рассто-

как следствие уравнений движения эфира(4)–(6). Здесь

дающей с прямой . Внутри провода

( , , )

яние от прямой

до рассматриваемой точки,

–

единичный век-

зависимость от

с осью

, совпа-

цилиндрической системе координат

магнитное поле имеет другую

радиуса (313), не содержащую особенность.

Отметим, что знание поля

, рассчитанного, например, по

необходимо привлечь

с помощью (20)

формуле (115) или аналогичным

ей, позволяет

найти произведение . Для определения

и

по отдельности

ещё уравнения (22), (23), (15).

Уравнение Максвелла (112) и закон Био – Савара (113), (114)

устанавливают тесную взаимосвязь в эфире между вектором

наличии

с

×

(| |

2

2

) ≠

0

, согласно

total

протекать

/

, а именно: при

магнитной индукции

и плотностью тока

эфире должно total

total

(112), в эфире должен

ток

, а при наличии

, согласно (113), (114), в

иметься магнитное поле

. Важно подчеркнуть,

total

что присутствие заряженных частиц

при этом не обязательно.

Вся взаимосвязь

и плотности тока

определяется только

соответствующими плотностью

и скоростью эфира.

8. Индуктивность геометрического объекта,

создающего магнитное поле

В постановке задачи с постоянной плотностью эфира суще-

общем случае.

( )

ствует простая связь между магнитным потоком через контур,

ограничивающий поверхность

[41]. Установим эту связь в

ляется

Φ

магнитного поля

через поверхность

( )

опреде-

Поток

поверхностным интегралом второго рода

Φ( )

≡

( ) ( , ) ∙

( , ) .

(116)

161

( )

Φ

, так как для за-

Здесь рассмотрим незамкнутую поверхность

мкнутой

магнитный поток

равен

нулю в силу теоремы

( )

один и тот же контур, не влияет на

( )

(27).

Остроградского – Гаусса и соленоидальности поля

Форма

незамкнутой

поверхности

,

опирающейся на

следует из равенства

значение

Φ

. Это утверждение

=

Φ( ) −

Φ1

( )

= ( ) ∙

− 1( ) ∙

( ) ∙ + 1( ) ∙

(−) =

тур, 1( )

( ) 1( ) ∙ = ( ) ∙

= 0,

( )

1( )

стороны

где

– произвольная поверхность, натянутая на тот же кон-

что и

. Нормаль в интеграле по

берётся с той же

ней нормали,

1( )

. Поэтому нор-

поверхности, что и в интеграле по

маль в интеграле по

меняет знак при

переходе в нём к внеш-

( )

фигурирующей в интеграле по

.

не связана с( )

током

( )

Пусть магнитное поле

индуцируется

( )

1( )

тации кривая

не

( )

кривая

никак

по кривой

. На данном этапе рассуждений

total

териальным

( )

. Кроме того, в эфирной интерпре-

поверхностью

обязательно должна совпадать с каким-то ма-

носителем, например с металлическим проводником.

Подставим эфирный аналог формулы Био – Савара для нити

(114) в определение (116)

×

1

Φ = ( )

| |2

( ) total

3

∙ .

total =

В , получаем

162

( )

total( )

ток одинаков

случае, когда в точках кривой