Задача 5 проектный расчёт двухопорной балки Условие задачи

_{Для стальной двухопорной балки, схема которой приведена на рис. 5.1, известна внешняя нагрузка и длины отрезков L1 и L2. Числовые значения заданы в табл. 5.1.}

_{Рис. 5.1}

_{Требуется:}

_{1. Из уравнений равновесия балки вычислить силы реакций опор.}

_{2. Составить выражения для поперечных сил Qy и изгибающих момен­тов Mx по участкам балки, вычислить их значения в характерных сечениях и построить эпюры Qy и Mx. Указать опасное сечение и значение Mmax.}

_{3. Из условия прочности по допускаемым напряжениям подобрать двутаврое, коробчатое и кольцевое сечения (рис. 5.2). Принять допускаемое напряжение   200 МПа. Сравнить расход материала по соотношению площадей и указать наиболее экономичное.}

_{Рис. 5.2}

Теоретические основы решения

_{В расчётах встречаются как консольные балки (балки с заделкой или защемлением), так и двухопорные балки. Если построение эпюр Qy и Mx для консолей проще выполнять, начиная со свободного края, так как не нужно вычислять реакции в заделке, то для двухопорных балок сначала необходимо вычислить опорные реакции, а далее методика нахождения Qy и Mx та же, что в задаче 4.}

_{При построении эпюр Qy и Mx, используют метод сечений. На рис. 5.3 изображены эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx для трёх двухопорных балок, нагруженных отдельно сосредоточенной силой, моментом и распределённой нагрузкой. Они хорошо показывают зависимость линий эпюр от вида нагрузки.}

_{В итоге укажем основные особенности эпюр Qy и Mx. Они, с одной стороны, отражают теоретические закономерности и помогают при построении эпюр в любой балке, с другой стороны, знание особенностей позволяет контролировать правильность эпюр.}

_{1. Если q = 0, поперечная сила Qy всегда постоянна, и эпюра Qy имеет вид прямоугольника, а изгибающий момент изменяется по линейному закону и на эпюре Mx − наклонная прямая.}

_{В частном случае, когда при q = 0 и Qy=0, а изгибающий момент постоянен, на эпюре Mx имеется прямоугольник. Это случай чистого изгиба.}

_{2. Если q ≠ 0 , поперечная сила Qy изменяется по линейному закону, и на эпюре Qy будет наклонная прямая; изгибающий момент Mx имеет квадратичную зависимость от z, и на эпюре Mx будет кривая второго порядка (парабола), характер параболы определять с помощью эпюры Qy. По теореме Д.И. Журавского тангенс угла α наклона касательной параболы (α ̶ это угол между касательной параболы и горизонтальной линией) равен Qy, т. е.}

_{значит, выпуклость или вогнутость параболы можно определить по значениям Qy.}

_{Если и на эпюре Qy наклонная прямая пресекла базисную линию, то в этом сечении угол α наклона касательной к кривой Mx равен нулю, касательная параллельна базисной линии, и момент в данном сечении экстремален для рассматриваемого участка.}

_{3. В сечении, где приложена сосредоточенная сила P на эпюре поперечной силы Qy будет скачок по направлению этой силы и на её величину, а на эпюре моментов Mx – перелом, направленный навстречу силе.}

_{4. В сечении, где приложен сосредоточенный момент М, на эпюре поперечной силы Qy нет изменений, а на эпюре моментов будет скачок на его величину по направлению М.}

_{Целью построения эпюр является получение максимального модуля момента Mx}^max_{. Сечение балки, в котором изгибающий момент Mx принимает максимальное значение по модулю Mx}^max_{, называется опасным, а значение}

Балка 1	В текущем сечении z1 Qy = -M/l = const, Mx =- M/l·z1. Mx(0) = 0; Mx(l/2) = -M/2. В текущем сечении z2 Qy = -P/2 = const, Mx = P/2·z2. Mx(0) = 0; Mx(l/2) = M/2 ;
Балка 2	В текущем сечении z1 Qy= P/2=const, Mx= P/2·z. Mx(0) =0; Mx(l/2) = P·l/4. В текущем сечении z2 Qy= -P/2=const, Mx= P/2·z. Mx(0) = 0; Mx(l/2) = P·l/4.
Балка 3	В текущем сечении z Qy= q·l/2-q·z, Mx= q·l/2·z-q·z^2/2. Qy(0) = q·l/2, Mx(0) = 0; Qy(l/2) = 0, Mx(l/2) = q·l^2/8. Qy(l) = - q·l/2, Mx(l) =0.

_{Рис. 5.3}

_{момента Mx}^max _{= Mmax ─ расчётным. Для опасного сечения составляют условие прочности, которое описывает прочность балок.}

_{Если балка выполнена из материала, который одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то для сечений балки используются симметричные по высоте фигуры: прямоугольник, двутавр, швеллеры и др. (рис. 4.5), и условие прочности в этом случае имеет вид:}

, (5.4)

_{где   допускаемое напряжение для материала балки, Wx  момент сопротивления сечения относительно оси х, который вычисляется по формуле через момент инерции сечения относительно горизонтальной оси х и расстояние по высоте .}