Пример решения задачи 1

Выполним расчёт для стержневой системы, изображённой на рис. 1.3, при следующих исходных значениях: м;кН/м;.

По условию задачи нужно подобрать площади сечения опорных стержней, т. е. выполнить проектный расчёт. Необходимо воспользоваться условием прочности (1.1), для этого потребуются значения продольных сил N, возникающих в стержнях. Найдём эти силы.

Рис. 1.3

1. Определение продольных усилий в опорных стержнях

Обозначим стержни цифрами 1, 2, 3 (рис. 1.4, а). Стержни имеют по концам шарниры, поэтому внутренняя продольная сила N направлена вдоль стержня. Так как материал стержней имеет разные значения допускаемых напряжений на растяжение и сжатие, то для составления условий прочности важно знать растянут стержень или сжат. Это оценивается направлением продольной силы. Если сила растягивает стержень, то она считается положительной, и перед её значением ставится знак « + »; если силасжимает стержень, то она считается отрицательной, и перед её значением ставится знак « - ». Чтобы автоматически получить правильный знак силы, поставим для всех стержней направление сил,,, при котором происходит растяжение стержней.

Рис. 1.4

Силы ,,должны удовлетворять условиям равновесия бруса. Брус нагружен внешней нагрузкойии неизвестными силами,,, которые в совокупности представляют плоскую систему сил, поэтому для брусаимеем три уравнения равновесия:

Запишем эти уравнения:

Заметим, что вычисления с целью уменьшения цифрового объёма можно выполнять через доли ql, подставляя заданное соотношение .

Из третьего уравнения

^.

_{Округляя, запишем N1 = -86,4 кН. Усилие N1 получено отрицательным, значит, стержень 1 сжат.}

Из первого уравнения

кН.

Продольное усилие положительно, значит, стержень 2 растянут.

Из второго уравнения

кН.

Продольное усилие положительно, значит, стержень 3 растянут.

Для проверки правильности найденных усилий составим неиспользованное уравнение равновесия ∑ М_А = 0:

_=0,

,

Равенство нулю говорит, что усилия в стержнях найдены верно.

2. Подбор площади сечения стержней

Для подбора сечений в условие прочности по допускаемым напряжениям (1.1), нужно брать , если стержень растянут, и=^, если сжат.

Стержень 1 сжат, условие прочности (1.1) для него принимает вид

Необходимо помнить, что для сжатого стержня в условие прочности ставим модуль продольной силы. Подставляя в это условие прочности значения =86,4 кН иМПа, получим

,

отсюда площадь сечения

.

Принимаем в соответствии со знаком «больше либо равно» площадь сечения 1-го стержня .

Составим условие прочности для 2-го стержня. Стержень 2 растянут, то по условию (1.1)

.

Подставляя значения кН иМПа, получаем

,

откуда требуемая площадь сечения

.= ^.

Округляя, принимаем площадь сечения 2-го стержня .

Для 3-го стержня продольное усилие положительно, поэтому условие прочности имеет вид:

^.

Подставляя в это условие прочности значения кН иМПа, получаем

,

откуда требуемая площадь сечения

^.

Принимаем площадь сечения 3-го стержня .

Таблица 1.1. Схемы стержневых систем задачи 1

Таблица 1.1. Схемы стержневых систем задачи 1 (продолжение)

Таблица 1.1. Схемы стержневых систем задачи 1 (продолжение)

Таблица 1.1. Схемы стержневых систем задачи 1 (продолжение)

Таблица 1.1. Схемы стержневых систем задачи 1