- •Прикладная механика.
- •Предисловие
- •Задача 1. Проектный расчёт стержневой системы Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 1
- •1. Определение продольных усилий в опорных стержнях
- •2. Подбор площади сечения стержней
- •(Окончание)
- •Задача 2. Проверочный расчёт бруса Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 2
- •1. Построение эпюры продольных сил
- •2. Вычисление нормальных напряжений и проверка прочности
- •3. Построение эпюры продольных перемещений и проверка жёсткости
- •Задача 3 проектный расчёт вала при кручении Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 3.
- •1. Построение эпюры крутящих моментов
- •2. Подбор диаметра вала
- •3. Эпюры касательных напряжений и углов закручивания сечений вала
- •Задача 4. Проверочный расчёт консольной балки Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 4
- •2. Проверка прочности по нормальным напряжениям
- •3. Нахождение наибольшего нормального напряжения при торможении
- •Задача 5 проектный расчёт двухопорной балки Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 5
- •1. Вычисление опорных реакций
- •2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
- •3. Подбор сечений
- •Задача 6 подбор диаметра вала при изгибе с кручением Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решение задачи 6
- •1. Определение крутящего момента
- •2. Составление расчётной схемы вала
- •3. Построение эпюры крутящего момента
- •5. Построение эпюры изгибающего момента
- •5. Определение диаметра вала
- •Задача 7. Эпюры внутренних усилий в плоской раме Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решение задачи 7
- •1.Определение опорных реакций
- •2. Построение эпюр внутренних усилий
- •Задача 8 определение допускаемой угловой скорости рамы при равномерном вращении Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 8
- •Задача 9 определение допускаемой высоты падения груза на балку Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 9
- •1. Условие прочности балки при ударе
- •2 Наибольшее значение изгибающего момента
- •3. Статическое перемещение в месте удара
- •4. Определение допускаемой высоты падения
- •Задача 10 расчёт на устойчивость центрально сжатого стержня Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 10
- •2. Нахождение критической сжимающей силы
- •Допускаемого напряжения
- •Приложение
- •Кратных и дольных физических величин системы си
- •Библиографический список
(Окончание)
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.2. Исходные значения к задаче 1
Номер варианта |
Длина L, м |
Интенсивность нагрузки q, кН/м |
Отношение P/(q L) |
1 |
2,00 |
40 |
1,5 |
2 |
1,25 |
50 |
2,0 |
3 |
1,80 |
30 |
1,5 |
4 |
1,60 |
35 |
2,0 |
5 |
1,45 |
45 |
1,5 |
6 |
1,40 |
50 |
2,5 |
7 |
1,75 |
40 |
2,0 |
8 |
1,90 |
35 |
1,0 |
9 |
1,70 |
30 |
2,0 |
10 |
1,35 |
40 |
2,5 |
11 |
1,85 |
50 |
0,5 |
12 |
1,30 |
45 |
2,0 |
13 |
1,65 |
35 |
1,0 |
14 |
1,75 |
45 |
2,5 |
15 |
1,80 |
40 |
0,5 |
16 |
2,20 |
20 |
3,0 |
17 |
1,55 |
30 |
1,0 |
18 |
2,15 |
35 |
3,0 |
19 |
2,05 |
45 |
1,0 |
20 |
1,35 |
30 |
0,5 |
21 |
1,95 |
40 |
1,5 |
22 |
1,50 |
30 |
1,0 |
23 |
2,25 |
25 |
3,0 |
24 |
1,85 |
45 |
1,5 |
25 |
2,00 |
35 |
1,0 |
26 |
1,65 |
50 |
2,0 |
27 |
1,20 |
35 |
1,5 |
28 |
1,45 |
50 |
1,3 |
29 |
1,90 |
30 |
2,5 |
30 |
1,80 |
40 |
1,0 |
Задача 2. Проверочный расчёт бруса Условие задачи
Для стального бруса, изображённого на рис. 2.1, а, известна внешняя нагрузка, заданы площадь поперечного сечения и длина (см. табл 2.1).
Требуется:
1. Построить эпюру продольных сил N.
2. Вычислить нормальные напряжения σ и проверить прочность при допускаемом напряжении [σ]=200Мпа.
3. Вычислить продольные перемещения, построить эпюру перемещений δ и проверить жёсткость при допускаемом перемещении [δ] = 0,5 мм. Принять модуль упругости E=2∙5Мпа.
Теоретические основы решения
В задаче рассматривается брус, схема которого дана на рис 2, а. В начальном сечении бруса задана сосредоточенная сила Р, и по всей длине бруса действуют распределённая нагрузка интенсивности q. Например, в реальном брусе, расположенным вертикально, это может быть собственный вес, для которого вес куска бруса длиною 1 м является интенсивностью силы собственного веса, равной , где А площадь сечения, объёмный вес материала стержня.
Внешняя нагрузка направлена по оси бруса, тогда в поперечных сечениях бруса возникает только продольная сила N, по которой можно оценить сопротивление бруса внешним воздействиям и составить условия прочности ижёсткости. Если сила N положительна, то она вызывает растяжение, если отрицательна, сжатие.
Продольная сила это внутренняя сила, и её значение вычисляют методом сечений. Выполним вычисление продольной силы N для заданного бруса, выполняя последовательно правило РОЗУ метода сечений: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить.
Выполним разрез бруса на расстоянии z от свободного края (это будет текущее сечение) и изобразим правую часть (рис. 2.1, б). В текущем сечении поставим силу N, направив её от сечения, чтобы она растягивала отсечённую часть бруса, т.е. направление продольной силы ставим положительное.
Заметим, что, поставив силу N в текущем сечении, мы произвели замену воздействия отброшенной части бруса на оставленную. Составим уравнение равновесия. Как следует из вида нагрузки, при растяжении-сжатии имеем только одно уравнение равновесия, − это сумма проекций всех сил на продольную ось бруса:
. (2.1)
В нашем примере в это уравнение войдут внешние силы ии внутренняя продольная силаN. Уравнение принимает вид:
отсюда получим формулу продольной силы:
. (2.2)
Как видно, продольная сила N в сечении равна алгебраической сумме проекций на ось z всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
а Заданная схема бруса
б Отсечённая часть
в Эпюра продольной силы N
г Эпюра продольных перемещений δ |
|
N
δ |
|
Рис. 2.1
Принято изображать график изменения N вдоль оси, который называют эпюрой N. Этот график удобен, так как наглядно показывает изменение силы вдоль бруса и определяет опасное сечение: опасным является сечение, в котором продольная сила принимает максимальное значение (определяется максимальная растягивающая и максимальная сжимающая силы). Эти значения являются расчётными значениями силы и необходимы для составления условия прочности.
Для построения эпюры N вычислим значения силы в начале бруса (при z = 0) и в конце (при z = l).
Получим граничные значения продольной силы:
при z = 0
при z = l
Отложив эти значения от базисной (нулевой) линии, проведённой под брусом, соединим значения согласно с (2.2) наклонной прямой и получим эпюру N (рис. 2.1, в).
При положительных значениях нагрузки, показанной на чертеже бруса, она выглядит нарастающей от свободного края по линейному закону. Реальная нагрузка вводит свои изменения в расчёты.
От продольных сил N в поперечном сечении бруса появляются нормальные напряжения σ, равномерно распределённые по площади (см. формулу 1.1).
Изменение значения продольный силы показано на эпюре N. В случае постоянной площади сечения вдоль бруса наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения будут в тех сечениях, где возникают наибольшая растягивающая (положительная) и наибольшая сжимающая (отрицательная) сила.
Заданный брус выполнен из стали, которая является пластичным материалом, имеющим одинаковые допускаемые напряжения на растяжение и сжатие, т. е. ==. Поэтомусоставляем одно условие прочности:
, (2.3)
где Nmax расчётное значение продольной силы, оно выбирается по эпюре N как наибольшее по модулю значение N.
При эксплуатации конструкций происходит её деформирование, это вносит свои особенности в обслуживание и сохранение работоспособности, поэтому выполняют вычисление деформаций и проверку жёсткости конструкции.
В рассматриваемом брусе при действии продольной нагрузки изменяется длина, т.е. возникает продольная деформация.
Величина изменения длины как любого отрезка бруса длиною z так и всего бруса длиною l называется абсолютной продольной деформацией Δl соответственно этого отрезка и всего бруса. Она вычисляется по формулам
∆l(z), ∆l(l) , (2.4)
где E – модуль продольной упругости (или модуль Юнга): для стали и чугуна Е=2∙105МПа, для алюминиевых сплавов Е=0,65 105МПа; деформация Δl обратно-пропорциональна величине EА, и ввиду этого величину EА называют жёсткостью сечения при растяжении-сжатии.
Подставим функцию продольной силы (2.2) в (2.4) и выполним интегрирование, получим
∆l(z) =,
∆l(l) . (2.5)
Здесь в выражении ∆l(z) имеем функцию 2-го порядка по отношению переменной z (это результат действия распределённой нагрузки), значит, величина деформации отрезка z изменяется вдоль бруса по квадратичной зависимости от z. Если показать изменение деформации графически, то будет парабола.
За счёт продольной деформации Δl происходят поступательные перемещения δ поперечных сечений бруса вдоль его оси. Для обеспечения нормальной эксплуатации необходимо, чтобы наибольшее перемещение δmax не превышало допускаемого перемещения , в таком случае говорят, чтобы выполнялосьусловие жёсткости:
. (2.6)
Для нахождения δmax вычисляют перемещения некоторых характерных сечений и изображают график изменения перемещений вдоль оси бруса, называемый эпюрой перемещений δ. Далее по эпюре перемещений выбирают δmax и проверяют условие (2.6).
В нашем примере нужно знать перемещения заделки и свободного края бруса.
Перемещение заделки отсутствует, т. е. δзад = 0; свободный край бруса переместился на величину δ, равную деформации всего бруса ∆l(l):
δзад +∆l(l). (2.7)
Для построения эпюры перемещений проведём базисную линию (см. рис. 2.1, г), параллельную оси бруса, отложим значение δ на свободном краю бруса и соединим эту точку с нулём для заделки параболой. Получили эпюру перемещений δ.