Задача 3 проектный расчёт вала при кручении Условие задачи

Для стального вала известны внешние скручивающие моменты. Схемы вала изображены в табл. 3.1. Числовые данные взять из табл. 3.2. Длины неуказанных участков в табл. 3.2 принять равными: l₂ = 0,25l₁; l₃ = 0,5l₁.

Требуется:

1. Построить эпюру крутящих моментов М_кр.

2. Из условия прочности подобрать диаметр вала, приняв допускаемое напряжение [] = 80 МПа. Значение диаметра вала должно быть принятым из стандартного ряда по ГОСТ 6636-60:

10; 10,5; 11; 11,5; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 28; 30; 32; 33; 34; 36; 38; 40; 42; 45; 48; 50; 52; 55; 60; 63; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100; 105; 110; 120; 125; 130 мм и далее через 10 мм.

3. Построить эпюры касательных напряжений  и углов закручивания  сечений вала, считая модуль сдвига G = 810⁴ Мпа. Проверить условие жёсткости вала при допускаемом угле закручивания вала = 1 градус.

Теоретические основы решения

Кручение возникает в элементах конструкций при таких воздействиях, которые можно схематизировать только скручивающими моментами. Такой брус в технике называют валом. Например, испытывают кручение валы механических передач, валы двигателей, станков, автомобилей, моторных вагонов, локомотивов.

Для вычисления крутящего момента составляют уравнение равновесия отсечённой части вала в виде суммы моментов всех внешних нагрузок и внутреннего крутящего момента относительно оси вала:

∑ М_z= 0. (3.1)

Для моментов используем известные общепринятые правила знаков: при взгляде на сечение считаем положительными те внешние моменты, которые направлены против хода часовой стрелки; внутренний крутящий момент М_кр принят положительным, если направлен по часовой стрелке.

При расчёте вала строится график М_кр, показывающий изменение крутящего момента по длине вала, который называют эпюрой М_кр.

В поперечных сечениях вала от крутящего момента М_кр возникают касательные напряжения, определяемые по формуле

,

где М_кр  значение крутящего момента в рассматриваемом сечении, оно имеется на эпюре М_кр, построенной для рассматриваемого вала; ρ – радиус точки,  полярный момент инерции сечения. Эпюра напряжений  изображена на рис. 3.1, а. Для вала круглого сечения наибольшее касательное напряжение _max возникает в точках сечения у поверхности вала при ρ = ρ_max = d/2:

. (3.2)

^Здесь – полярный момент сопротивления круглого сечения, с - отношение внутреннего диаметра к наружному, при отсутствии отверстия с = 0.

Для вала постоянного диаметра при изменении крутящего момента вдоль вала наибольшее значение _max возникает в том сечении вала, в котором крутящий момент М_кр принимает наибольшее по модулю значение . Тогда условие прочности вала постоянного диаметра при кручении записывают в виде

, (3.3)

где  допускаемое касательное напряжение для материала вала.

а	б

Рис. 3.1

Условие прочности (3.2) позволяет выполнять три вида расчётов:

проектный(назначение диаметра вала);

проверочный (проверка прочности вала);

определение несущей способности (вычисление допускаемого значения внешних моментов).

При работе машин и сооружений сечения валов получают угловую деформацию (рис. 3.1, б) − угол поворота сечения φ (угол закручивания вала), который не должен превышать определённого значения, поэтому для вала существует условие жёсткости

,

где – наибольшее по модулю значение угла закручивания вала,– значения допускаемого угла закручивания вала, его значение задают по техническим нормам.

Угол закручивания вала вычисляется как

. (3.4)

Здесь l – длина участка вала; G – модуль сдвига; – полярный момент инерции круглого сечения,

.

Как видно, угол закручивания зависит обратно пропорционально от значения , которое называют жёсткостью сечения при кручении.

Для контроля работоспособности круглых валов нужно иметь в виду, что в поперечном сечении возникают только касательные напряжения (рис. 3.1, а), а на любом наклонном к оси направлении действуют и нормальные, и касательные напряжения (рис. 3.2).

Чтобы показать это, нужно сначала выделить прямоугольный элемент на поверхности вала, по граням которого действуют касательные напряжения  = _max (рис. 3.2, а). Как известно, это чистый сдвиг.

а	б	в

Рис. 3.2

Если рассечь элемент наклонной плоскостью и составить условия равновесия полученного треугольного элемента (рис. 3.2, б), то получаем нормальные и касательные напряжения, действующие на этой площадке,

.

Площадки под углом α=45⁰ являются особенными: напряжения на них равны τ_α = 0 и = . На этих площадках будут только нормальные напряжения: при = +45⁰ растягивающие σ₁ = +, а при = -45⁰ – сжимающие σ₂ = -, и имеем одновременное растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 3.2, в). Эти площадки являются главными, так как на них отсутствуют касательные напряжения.

Зная напряжения по всевозможным направлениям, можно объяснить разрушение при кручении. Характер разрушения вала зависит от способности данного материала сопротивляться действию как нормальных, так и касательных напряжений. Приведём вид разрушения валов, выполненных из трёх, наиболее распространённых материалов: дерева, стали и чугуна (рис. 3.3).

Деревянный вал претерпевает скалывание продольных волокон относительно друг друга: появляются трещины, ориентированные вдоль образующей. Это происходит вследствие того, что древесина хуже сопротивляется сдвигу (т.е. воздействию касательных напряжений ), чем растяжению и сжатию (воздействию нормальных напряжений ).

а б в

Разрушение при кручении а ─ деревянного вала; б ─ чугунного вала; в ─ стального вала.

Рис. 3.3

Чугунный вал разрушается по винтовым плоскостям, ориентированным под углом 45º к оси бруса. Объяснить такое разрушение можно тем, что чугун хорошо сопротивляется сжимающим напряжениям, плохо сдвигающим касательным, и хуже всего растягивающим. В результате по плоскости, перпендикулярной растягивающим нормальным напряжениям (под углом ~к оси вала), образуется разрыв – появляется трещина под углом ~к оси вала.

Стальной вал срезается по поперечному сечению, где действуют наибольшие касательные напряжения , так как сталь хуже всего сопротивляется касательным напряжениям.