- •Прикладная механика.
- •Предисловие
- •Задача 1. Проектный расчёт стержневой системы Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 1
- •1. Определение продольных усилий в опорных стержнях
- •2. Подбор площади сечения стержней
- •(Окончание)
- •Задача 2. Проверочный расчёт бруса Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 2
- •1. Построение эпюры продольных сил
- •2. Вычисление нормальных напряжений и проверка прочности
- •3. Построение эпюры продольных перемещений и проверка жёсткости
- •Задача 3 проектный расчёт вала при кручении Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 3.
- •1. Построение эпюры крутящих моментов
- •2. Подбор диаметра вала
- •3. Эпюры касательных напряжений и углов закручивания сечений вала
- •Задача 4. Проверочный расчёт консольной балки Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 4
- •2. Проверка прочности по нормальным напряжениям
- •3. Нахождение наибольшего нормального напряжения при торможении
- •Задача 5 проектный расчёт двухопорной балки Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 5
- •1. Вычисление опорных реакций
- •2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
- •3. Подбор сечений
- •Задача 6 подбор диаметра вала при изгибе с кручением Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решение задачи 6
- •1. Определение крутящего момента
- •2. Составление расчётной схемы вала
- •3. Построение эпюры крутящего момента
- •5. Построение эпюры изгибающего момента
- •5. Определение диаметра вала
- •Задача 7. Эпюры внутренних усилий в плоской раме Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решение задачи 7
- •1.Определение опорных реакций
- •2. Построение эпюр внутренних усилий
- •Задача 8 определение допускаемой угловой скорости рамы при равномерном вращении Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 8
- •Задача 9 определение допускаемой высоты падения груза на балку Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 9
- •1. Условие прочности балки при ударе
- •2 Наибольшее значение изгибающего момента
- •3. Статическое перемещение в месте удара
- •4. Определение допускаемой высоты падения
- •Задача 10 расчёт на устойчивость центрально сжатого стержня Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 10
- •2. Нахождение критической сжимающей силы
- •Допускаемого напряжения
- •Приложение
- •Кратных и дольных физических величин системы си
- •Библиографический список
Задача 1. Проектный расчёт стержневой системы Условие задачи
В плоской стержневой системе, схемы которой даны в табл. 1.1, абсолютно жёсткий брус имеет три опорных стержня и несёт нагрузку известной величины. Исходные числовые значения взять из табл. 1.2.
Требуется:
1. Подобрать площади поперечного сечения опорных стержней из условия прочности по допускаемым напряжениям, считая допускаемое напряжение на сжатие МПа, на растяжение=МПа.
Теоретические основы решения
В задаче рассматривается расчёт стержней на прочность при растяжении-сжатии. Растяжение и сжатие возникает:
в опорных стержнях, поддерживающих какие либо конструкции (это сооружения, плоские и пространственные рамы, ─ в целом такие конструкции называют стержневыми системами);
в стержнях ферм (фермы − это системы из прямолинейных стержней, соединённых по концам шарнирами);
в элементах конструкций, имеющих вид прямого бруса постоянного или переменного сечения и нагруженных продольной нагрузкой. Например, как прямой брус при действии растягивающей силы рассматривают болты и винты, применяемые в механических соединениях; трос подъёмного механизма; как прямой брус изображают следующие элементы, воспринимающие продольную нагрузку: колонны зданий и оборудования, фабричные трубы, столбчатые фундаменты, которые сжаты собственном весом и верхней нагрузкой.
В случае растяжения-сжатия в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N, которые и позволяют оценить сопротивление бруса внешним воздействиям и получить условие прочности. От продольных сил в поперечном сечении бруса появляются нормальные напряжения σ, равномерно распределённые по площади (рис. 1.1), поэтому значение напряжений σ определяют как отношение продольной силы к площади сечения A.
Эти напряжения не должны превышать допускаемого напряжения , поэтому для стержней условие прочности по допускаемым напряжениям записываем как
. (1.1)
По условию прочности (1.1) возможно выполнение трёх видов расчёта на прочность:
проектный расчёт (выполняется определение размеров сечения);
проверочный расчёт (вычисление напряжений и проверка прочности);
определение несущей способности (нахождение величины нагрузки).
Нужно помнить, что для пластичных материалов (например, для малоуглеродистых сталей) имеем одинаковые допускаемые напряжения на растяжение и сжатие, т. е. ==, а дляхрупких материалов (например, для чугуна) допускаемые напряжения на растяжение и на сжатиеразличны.
Для правильного контроля работы конструкций надо знать, какие напряжения возникают не только в поперечном сечении, но и в любом наклонном к оси (рис. 1.1). Если стержень разрезать двумя плоскостями (рис. 1.1, а): плоскостью 1-1, перпендикулярной оси, и наклонной плоскостью 2-2, далее выделить полученную часть стержня (рис. 1.2, б) и рассмотреть её равновесие, то получим в наклонном сечении напряжения , параллельные σ и равные . Разложим вектор напряженияна нормаль и касательную к наклонному сечению(рис. 1.1, б):
и получим, что при растяжении-сжатии в наклонных сечениях возникают и нормальные , и касательные напряжения, равные
, . (1.2)
а |
|
б |
Рис. 1.1
Формулы (1.2) показывают, что наибольшие нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях, а наибольшие касательные ─ на площадках под углом , на которых,. Этот факт позволяет объяснить сопротивление растяжению и сжатию различных материалов.
|
|
а ─ Стальной образец до и после сжатия |
б ─ Чугунный образец до испытания и после разрушения от сжимающей силы |
Рис. 1.2
Рассмотрим широко распространённые конструкционные материалы: сталь и чугун. Сталь, как пластичный материал, при сжатии получает пластичные (остаточные) деформации, которые происходят по линии действия касательных напряжений, и наибольший сдвиг получается от наибольших касательных напряжений под углом . При достижении по этому направлению предела текучести стали при сдвиге τт наблюдается интенсивный сдвиг, и образец принимает бочкообразную форму (рис. 1.2, а).. Таким образом, допускать предел текучести τт в стальных конструкциях опасно.
При сжатии чугунного образца (рис.1.2, б) наблюдается хрупкий скол по плоскости под углом к оси. Объяснить такое разрушение можно тем, что чугун хорошо сопротивляется сжатию и слабо сдвигу и растяжению. Образец срезается от действующих под угломкасательных напряжений, когда они достигают предела прочности на сдвиг τВ. Поэтому линия среза наклонена под 450 к оси образца.