Пример решения задачи 5

_{Выполним расчёт при следующих значениях: сосредоточенные силы .Р1 = 0 и Р2 = 16кН, сосредоточенные моменты М1 = 0 и М2= -30 кН∙м, интенсивность распределённой нагрузки q1 = 0 и q2 = -20 кН/м, длины участков L1 = 2 м и L2 = 3 м.}

1. Вычисление опорных реакций

_{Сначала по заданным значениям построим реальную балку (см. рис. 5.4, б). Далее для выполнения расчётов нужно знать величины реактивных сил RA и RB, возникающих в опорах А и В, которые вычислим из уравнений равновесия балки}

_{Для данной балки они принимают вид:}

_{Из этих уравнений получаем}

_{Для проверки правильности найденных реакций опор составим неиспользованное уравнение равновесия}

_:

_{Имеем тождество, значит, реакции опор найдены верно.}

2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

_{В поперечных сечениях балки возникают поперечные силы Qy и изгибающие моменты Мх. Значения Qy и Мх изменяются вдоль балки, для получение их максимальных значений строят графики ̶ эпюры Qy и Мх. Значения Qy и Мх вычисляют по участкам балки. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные моменты и силы, а также начало и конец распределённой нагрузки. Для каждого участка применяются правила РОЗУ метода сечений:}

_{1) Разрезать балку на 2 части.}

_{2) Отбросить одну из частей.}

_{3) Заменить воздействие отброшенной части на оставленную усилиями Qy и Мх.}

_{4) Уравновесить внешнюю нагрузку и внутренние усилия Qy и Mx, составив два уравнения равновесия отсечённой части:}

_(5.2)

_{Заметим, что здесь за точку О выбираем центр тяжести текущего сечения, и составляем уравнение моментов относительно этой точки от всех воздействий, действующих на оставленную часть балки.}

_{Разобьём балку на два грузовых участка (рис. 5.4, а) и рассмотрим вычисление усилий Qy и Mx на каждом.}

_{1-й участок: , где z1 – координата текущего сечения. Рассмотрим кусок первого участка балки длиной z1, расположенный по левую сторону от сечения. В сечении возникают изгибающие моменты Мх}¹ _{и поперечные силы Qy}¹_{, которые предполагаем положительного направления: поперечная сила положительна, если её вектор стремится повернуть рассматриваемую часть по часовой стрелке; изгибающий момент Mx в сечении будем считать положительным, если балка изгибается выпуклой стороной вниз.}

_{Слева от сечения расположена только сила RA, поэтому записываем:}

, .

_{Выражение поперечной силы Qy}¹ _{не содержит переменных, следовательно, на 1-м участке на эпюре Qy значение постоянно и равно 14,4 кН. Отложим вверх от нулевой линии это значение в масштабе и построим на 1-м участке эпюры Qy прямоугольник (рис. 5.4, в).}

_{Выражение Мх}¹ _{соответствует уравнению прямой. Подсчитаем величины моментов при граничных значениях (z1 =0 и z1 = l):}

_{При z = 0 ; при м кН∙м.}

_{На базисной линии отложим эти значения и проводим наклонную прямую эпюры Mх на 1-м участке (рис. 5.4, г).}

а б в г

_{Рис. 5.4}

_{Рассмотрим 2-й участок: . Возьмём участок балки слева от сечения и по (5.2) получаем}

_{Подсчитаем значения и для граничных значений :}

_{при z2 = 0}

_{при z2 = 3 мкН; .}

_{По найденным значениям поперечных сил и изгибающих моментов построим эпюры Qy и Mx на 2-м участке. Сила изменяется линейно, поэтому, отложив в начале 2-го участка кН и в конце кН, соединим эти точки наклонной прямой (рис. 5.4, в), которая пересекает базисную линию в точке К. Так как функция момента имеет второй порядок по отношению к переменной z2 (это результат наличия распределённой нагрузки на этом участке), то при изображении момента должны изобразить параболу.}

Уточним вид этой параболы с помощью эпюры Q_y и теоремы Д.И. Журавского (4.3) об интегрально-дифференциальной зависимости функций _{Qy и Мx. На эпюре сил Qy имеем пересечение наклонной линии Qy с базисной прямой (в точке К). Это внесёт следующую поправку в изображение параболы: в точке К получается перегиб кривой, и момент получает экстремальное значение . Для вычисления момента необходимо найти абсциссу этого сечения . Величину определяем из уравнения , которое принимает вид: . Получаем м.}

_{Подсчитаем значение экстремального момента как момента при м:}

_кН·м.

_{Отложив значения моментов в начале, в конце участка и в сечении К, построим эпюру моментов на 2-м участке (рис. 5.4, г). Целью построения эпюр является получение максимального (расчётного) значения Mmax. На построенной эпюре моментов Mmax=28,8кН·м.}