- •Прикладная механика.
- •Предисловие
- •Задача 1. Проектный расчёт стержневой системы Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 1
- •1. Определение продольных усилий в опорных стержнях
- •2. Подбор площади сечения стержней
- •(Окончание)
- •Задача 2. Проверочный расчёт бруса Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 2
- •1. Построение эпюры продольных сил
- •2. Вычисление нормальных напряжений и проверка прочности
- •3. Построение эпюры продольных перемещений и проверка жёсткости
- •Задача 3 проектный расчёт вала при кручении Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 3.
- •1. Построение эпюры крутящих моментов
- •2. Подбор диаметра вала
- •3. Эпюры касательных напряжений и углов закручивания сечений вала
- •Задача 4. Проверочный расчёт консольной балки Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 4
- •2. Проверка прочности по нормальным напряжениям
- •3. Нахождение наибольшего нормального напряжения при торможении
- •Задача 5 проектный расчёт двухопорной балки Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 5
- •1. Вычисление опорных реакций
- •2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
- •3. Подбор сечений
- •Задача 6 подбор диаметра вала при изгибе с кручением Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решение задачи 6
- •1. Определение крутящего момента
- •2. Составление расчётной схемы вала
- •3. Построение эпюры крутящего момента
- •5. Построение эпюры изгибающего момента
- •5. Определение диаметра вала
- •Задача 7. Эпюры внутренних усилий в плоской раме Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решение задачи 7
- •1.Определение опорных реакций
- •2. Построение эпюр внутренних усилий
- •Задача 8 определение допускаемой угловой скорости рамы при равномерном вращении Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 8
- •Задача 9 определение допускаемой высоты падения груза на балку Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 9
- •1. Условие прочности балки при ударе
- •2 Наибольшее значение изгибающего момента
- •3. Статическое перемещение в месте удара
- •4. Определение допускаемой высоты падения
- •Задача 10 расчёт на устойчивость центрально сжатого стержня Условие задачи
- •Теоретические основы решения
- •Пример решения задачи 10
- •2. Нахождение критической сжимающей силы
- •Допускаемого напряжения
- •Приложение
- •Кратных и дольных физических величин системы си
- •Библиографический список
Задача 10 расчёт на устойчивость центрально сжатого стержня Условие задачи
Стержень, схема которого приведена в табл. 10.1, сжат силой, приложенной в центре тяжести сечения. Длина l стержня, вид материала и параметры стержня σа , σb , λ0 , λпред из этого материала заданы в табл. 10.2.
Варианты формы и размеров поперечного сечения указаны в табл.10.3 и табл.10.4: для стального стержня из стали Ст. 3, Ст. 5 можно задать либо двутавровое сечение, либо составное сечение из простых фигур (см. табл.10.4); для стержня из дюралюминия задано кольцевое сечение (см. табл.10.3); для стержня из дерева (сосна) ̶ прямоугольное сечение (см. табл.10.3).
Требуется:
1. Определить допускаемую силу .
2. Найти критическое значение сжимающей критической силыи запас устойчивости по допускаемой силе
Теоретические основы решения
В практике часто встречаются случаи нагружения элементов продольной силой, при которых возможна потеря устойчивости. Такие элементы рассматривается как стержень под действием сжимающей продольной силы Р или, как принято говорить, рассматривается центрально сжатый стержень. Такая расчётная схема применяется при расчёте стоек оборудования, стержней механизмов, несущих колонн, стержней ферм др.
При определённом значении силы происходит внезапное искривление стержня и изменение первоначальной прямолинейной формы упругого равновесия, – это потеря устойчивости стержня (рис. 10.1, а). Значение силы называют критической Ркр, тогда критическое напряжение в стержне равно
,
где А площадь поперечного сечения стержня. Опасность потери устойчивости не только во внезапности, но и в том, что она происходит при критическом напряжении , которое может оказаться существенно меньше допускаемого:.
Способность стержня сохранять начальную форму упругого равновесия под нагрузкой называется устойчивостью. Стержень устойчив, если сила и напряжение не превышают определённых допускаемых значений, поэтому условие устойчивости имеет вид:
,…………………(10.1)
где nу ─ коэффициент запаса устойчивости, и─ допускаемые на устойчивость сила и напряжение.
Коэффициент запаса устойчивости зависит от назначения стержня и его материала. Так для стальных стержней, используемых в технике, , для стержней из дерева и чугуна.
Необходимо заметить, что теряют устойчивость не только центрально-сжатые стержни, но и многие другие конструкции, расчётная схема которых совершенно другая, например, пластины и оболочки. Устойчивость – это большой раздел механики деформируемых тел.
-
Ркр
а
б
Рис. 10.1
Величина критической силы для центрально сжатого стержня зависит от его важной геометрической характеристики ‒ гибкости стержня λ, значение которой определяют как
, (10.2)
где – коэффициент приведения длины стержня, он указан на расчётной схеме стержня;– минимальный радиус инерции сечения, здесь– минимальный момент инерции сечения, этим учитываем, что потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жёсткости,А-площадь сечения.
На рис. 10.1, б дана диаграмма критических напряжений , на которой прослеживается три зависимости этих напряжений от гибкости стержня, поэтому в зависимости от величины гибкости имеем три группы стержней:
III-я группа ‒ длинные;
II-я группа ‒ средние;
I-я группа ‒ короткие стержни.
Ввиду этого формула для вычисления силы выбирается в зависимости от величины гибкости λ, найденной по (10.2) для конкретного центрально-сжатого стержня.
При гибкости стержня λ, удовлетворяющей условию
λ ≥ ,
имеем длинные стержни (III-я группа). Здесь ‒ предельная гибкость стержня, которая зависит от свойств материала стержня. Её значение определяется как
,
где Е ‒ модуль упругости материала, σпц ‒ его предел пропорциональности.
Для длинных стержней используется формула Эйлера
. (10.3)
При гибкости стержня λ, удовлетворяющей условию
λ0 ≤ λ ≤ λпред,
имеем средние стержни (II-я группа). Критическую силу для них вычисляют по эмпирической формуле Ясинского-Тетмайера
. (10.4)
Значения величин Ϭа, Ϭв, инужно взять из табл.10.2, их значения получены в зависимости от вида материала и гибкости стержня.
Если гибкость стержня λ≤ λ0 , имеем короткие стержни (I-я группа), они не теряют устойчивости и рассчитываются на прочность.
Для расчётов сжатых стержней создано условие устойчивости, которое справедливо для всех трёх групп стержней. Считая, что в сечении площадью А напряжения равны , это условие устойчивости записывают в виде
, (10.5)
где коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения .
Коэффициент φ ещё называют коэффициентом продольного изгиба. Он изменяется в пределах 0 ÷ 1. Значения φ для некоторых материалов приведены в табл. 10.5. Условие (10.5) называют условием устойчивости по коэффициенту уменьшения основного допускаемого напряжения , илиусловием устойчивости по коэффициенту .