Пример решения задачи 3.

Для стального вала заданной конфигурации известны внешние скручивающие моменты (рис. 3.4, а) и длины участков.

1. Построение эпюры крутящих моментов

Вал состоит из 3-х участков. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние скручивающие моменты. Заданный вал имеет три участка, обозначим соответственно I, II, III. Применяя метод сечений, крутящие моменты в поперечных сечениях вала М_кр определяем по (3.1). При этом рассматриваем отсечённые участки, начиная от свободного края.

Крутящий момент в сечении всегда предполагаем положительным, т.е. направленным по часовой стрелке (при взгляде на это сечение).

Проводим произвольное сечение на участке I, мысленно отбрасываем левую часть вала и рассматриваем равновесие отсечённой правой части. Согласно с (3.1) крутящий момент в сечении равен алгебраической сумме всех внешних моментов, действующих на рассматриваемую (отсечённую) часть. Получаем

М_КР1 = - Т = -10 кНм = -1010⁶ Нм.

Выполняя аналогичные операции для других участков вала, получим

М_КР2 = - Т + 2Т = - 10 + 20 = 10 кНм = 1010⁶ Нм,

М_КР3 = - Т + 2Т -3Т = - 10 + 20 – 30 = -20 кНм = -2010⁶ Нм.

По полученным значениям строим график, показывающий изменение крутящего момента М_кр по длине вала - эпюру М_кр. (рис. 3.4, б). Для этого проводим базисную линию, параллельную оси вала, и откладываем перпендикулярно ей в выбранном масштабе значения крутящих моментов.

Так как в пределах участков крутящий момент не меняется, то эпюра ограничена прямыми линиями, параллельными базисной линии. Полученную эпюру принято штриховать линиями перпендикулярными оси стержня. При этом каждая линия штриховки (ордината графика) в соответствующем масштабе выражает величину крутящего момента в поперечном сечении вала.

2. Подбор диаметра вала

Требуемый диаметра вала определим из условия прочности (3.3), для которого максимальный по модулю крутящий момент выбираем по эпюре крутящего момента М_кр: = 20 кНм; полярный момент сопротивления сечения записываем для сплошного круглого сечения как. Условие прочности принимает вид

.

Отсюда определим требуемый диаметр вала:

а б в г

Рис. 3.4

мм.

Полученное значение диаметра вала округляем до ближайшего значения ГОСТа 6636-60 и принимаем d = 110 мм.

3. Эпюры касательных напряжений  и углов закручивания  сечений вала

Касательные напряжения, возникающие в поперечных сечениях участков вала, определяем по формуле (3.2), для которой полярный момент сопротивления сечения для подобранного сплошного круглого сечения равен

.

Получаем

МПа,

МПа,

МПа.

По полученным значениям строим эпюру касательных напряжений аналогично построению эпюры крутящих моментов (рис. 3.4, в).

Для построения эпюры углов закручивания вала вычислим углы закручивания характерных сечений  сечений A, B, C и D, в которых находятся границы участков вала. Вычисления начинаем от защемлённого левого конца (от сечения A), где , так как сечение жёстко закреплено.

Вычисление выполняем, используя формулу (3.4), согласно которой значения получаем в радианах.

Полярный момент инерции подобранного круглого сечения равен

Углы закручивания характерных сечений B, C и D:

рад,

По полученным значениям строим эпюру углов закручивания вала (рис. 3.4, г), по которой имеем

φ_max = 12,5 10 ^-3 рад = 0,72⁰ < =1⁰ ,

значит, условие жёсткости обеспечено.

Таблица 3.2. Исходные значения к задаче 3

Номер варианта	Длина l1, мм	Длина l2, мм	Длина l3, мм	Момент Т, кНм
1	800	300	660	10
2	900	450	530	8
3	1000	880	490	6
4	750	300	330	14
5	600	660	400	16
6	500	300	680	18
7	850	490	500	20
8	300	330	900	22
9	450	800	300	12
10	880	900	450	6
11	750	300	880	11
12	920	800	300	9
13	1100	900	450	5
14	760	400	880	15
15	650	900	500	16
16	470	1000	920	21
17	360	750	800	13
18	400	360	900	17
19	830	400	600	10
20	800	300	800	8
21	940	360	400	7
22	1060	800	400	5
23	780	900	360	14
24	650	1000	350	16
25	530	750	1060	23
26	490	830	400	20
27	330	820	360	22
28	400	400	800	18
29	600	850	500	16
30	440	820	360	25

Таблица 3.1. Схемы к задаче 3

Таблица 3.1. Схемы к задаче 3 (продолжение)

Таблица 3.1. Схемы к задаче 3 (окончание)