Математика Сизов 2011

с тремя неизвестными:
a x			a y			a z		b ,
11			12			13			1
a21	x		a22	y		a23	z		b2 ,	(1.1)
a	x		a	y		a	z		b .
31			32			33			3

СЛАУ (1.1)

можно представить в матричном виде:

A X B,

(1.2)

a

a

a

11

12

13

где

A a21

a22

a23

– матрица СЛАУ,

a32

a33

a31

x

b1

X y ,

B b2

.

z

b

3

a11

a12

a13

–

определитель

СЛАУ,

он

же

определитель

a21

a22

a23

матрицы A.

a31

a32

a33

a

a

a

b

11

12

13

1

a21

a22

a23

b2

– расширенная матрица СЛАУ.

a

31

a

32

a

33

b

3

Элементарными преобразованиями матрицы (СЛАУ) наз.

следующие преобразования:

1)Перестановка двух любых строк (уравнений).

2)Умножение всех элементов любой строки (любого уравнения)

на произвольное число, отличное от нуля.

3)Прибавление

к

элементам

любой

строки

(уравнения)

соответствующих элементов другой строки (уравнения), умноженных на любое число, отличное от нуля.

Инженеру необходимо знать три метода решения СЛАУ.

1.Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных

–От исходной СЛАУ перейти к расширенной матрице.

–Элементарными преобразованиями привести расширенную матрицу к треугольному виду( все элементы ниже диагонали должны быть равны нулю).

–От треугольной расширенной матрицы перейти к СЛАУ.

–Определить неизвестное из последнего уравнения (все неизвестные исключены, кроме одного).

–Подставить найденное неизвестное в предыдущее уравнение,

11

решить его, т. е. найти следующее неизвестное и так продолжать находить все остальные неизвестные.

2.Метод Крамера

Решение находится по формулам Крамера

x

x

,

y

y

,

z

z

,

где

a11

a12

a13

,

b1

a12

a13

,

a21

a22

a23

x

b2

a22

a23

a31

a32

a33

b3

a32

a33

a11

b1

a13

a

a

b

y

a21

b2

a23

,

11

12

1

.

z

a

21

a

22

b

a31

b3

a33

2

a31

a32

b3

Система имеет единственное решение при ∆ ≠ 0, множество решений при ∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0 и не имеет решения при ∆ = 0 и хотя бы одном из ∆x , ∆y, ∆z не равном нулю.

3.Матричный метод решения СЛАУ

Если в (1.2) матрица А невырожденная, то, умножая слева

матричное уравнение на	матрицу	А-1,	обратную А,	получим
A 1 A X A 1 B .
Т.к. A 1 A E	и E X X,	то	X A 1 B .	(1.3)

1.1.4. Элементы линейных преобразований

Формула (1.2) показывает, что вектор X с помощью матрицы A преобразуется в вектор B. Это преобразование называется линейным, т. к. при переходе от векторной формы (1.2) к СЛАУ (1.1) все уравнения являются линейными.

Т. о., линейное преобразование характеризуется его матрицей. Поэтому действия над такими преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами. Например, если вектор X переводится в вектор Y линейным преобразованием с матрицей A, т.е. Y=AX, а вектор Y переводится в вектор Z линейным преобразованием с матрицей B, т.е. Z=BY, то линейное преобразование переводящее вектор X в вектор Z определяется матрицей С=ВА, т.к.

Z=BY=BAX=CX. (1.4)

В линейной алгебре очень важным является частный случай

12

линейного преобразования, когда матрица A преобразует вектор X в коллинеарный (параллельный) самому себе вектор:

AX= X.

(1.5)

Если действительное число λ и вектор Х≠0 таковы, что удовлетворяют (1.5), то число λ называется собственным значением матрицы А, а вектор X – собственным вектором этой матрицы.

Собственное значение λ матрицы A определяется в результате решения характеристического уравнения матрицы A:

А-λE=0.

Это уравнение представляет собой алгебраическое уравнение n– й степени. Если корни этого уравнения действительные простые (первой степени), то таких корней, а значит и собственных значений будет n ,где n порядок матрицы A. Собственных векторов будет тоже n. Тогда (1.5) будет уточнено:

AXi= λi Xi , где i=1,2,…,n.

(1.6)

Каждый собственный вектор находится в результате решения (1.6), преобразовав его в СЛАУ. Решение СЛАУ является координатами собственного вектора.

Замечание. СЛАУ, полученное из (1.6) является совместной и неопределенной (имеет множество решений). Ее можно решить методом Гаусса (пример такого решения см. ниже). Очень часто эти СЛАУ можно привести к виду:

a11x1 a12 x2 a13 x3 0,

a

21

x a

x a

23

x 0.

(1.7)

1

22

2

3

Такая однородная СЛАУ имеет два уравнения и три

неизвестных.

Ее решение:

x k

a12

a13

,x

2

k

a11

a13

,x

k

a11

a12

. ,

(1.8)

1

a22

a23

a21

a23

3

a21

a22

где k – любое действительное число (свободная переменная).

13

1.2. Решение типовых примеров и задач

Пример 1. Записать число z 1 2i в алгебраической и

тригонометрической формах. Найти все корни уравнения 3 z 0. Решение. Для получения числа z в алгебраической форме

помножим числитель и знаменатель на сопряженное число (1- i).

															i												i									1
							z						2 1											2 1														1 i .
												1 i			1 i											2										2
Модуль							числа							z						равен																1	1 1,										а			аргумент
																																				2		2
1						2		7
arctg 1												, так как число z находится в четвертой четверти.
				2					4
																																														7			i sin			7
Тригонометрическая форма числа z имеет вид z 1 cos																																															4					4		.
Для		1	нахождения												корней											уравнения																3 z 0									имеем
3 z					1 i . Так как число																					-z находится во второй четверти,
		2
																																					-z				будет иметь вид
то тригонометрическая																	форма									числа
		3				i sin						3					Используя											приведенную																выше						формулу
z 1 cos		4										4	.
извлечения корня, получим
3 z 3									3			i sin					3					3							3 4 2k													i sin						3 4 2k
				1 cos																				1		cos																												,
										4							4																			3														3
где k=0, 1, 2.
							1											3 4					i sin					3 4									ños						i sin
При k=0,												3 1 cos																																						.
																				3										3												4							4
							2										3 4 2									isin				3 4 2											cos				11				isin		11
При k=1,												3 1	cos																																									.
																				3																3										12						12
							3										3 4 4									isin					3 4 4											cos				19			isin			19
При k=2,												3 1	cos																																									.
																				3																3										12						12
Пример 2. Решить методом Гаусса систему:
												x										y					2z											6,
																				3y							7z										16,
												2x
																				2 y								z									16.
												5x
																										14

Решение. Составляем расширенную матрицу:

1		1	2		6
	2	3	7		16
						.
	5	2	1		16

Приводим ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

Первую строку оставим без изменения. Умножим первую строку на (-2) и сложим со второй и ту же первую строку умножим на (-5) и сложим с третьей строкой. В результате получим матрицу:

	1	1	2		6
	0	1	3		4
						.
	0	3	11		14

Вторую строку оставим без изменения, а затем умножим вторую строку на (+3) и сложим с третьей. В результате имеем:

	1	1	2		6
	0	1	3		4
	0	0	2		2	.

От расширенной матрицы переходим к СЛАУ:

x		y		2 z		6 ,
		y		3 z		4 ,
				2 z		2 .

Из этой системы последовательно находим

z =-1 y = 4 + 3z = 1 x = 6 + 2z – y = 6 – 2 – 1 = 3.

Решение x=3, y=1, z=-1 является единственным. Такая СЛАУ называется совместной и определенной.

Пример 3. . Решить методом Гаусса систему:

x		y		5z		3,
		2 y		z		2,
3x
		3y 6z				1.
2x

15

Решение: Составим расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования:

1 -1			5		3		1 -1			5		3		1 -1			5		3
	3	2	-1		2			0	5	-16		7			0	5	16		7
							~							~						.
	2	3	6					0	5	-16		7			0	0	0		0
					1

Здесь первую строку умножили на (-3) и сложили со второй, далее - первую строку умножили на (-2) и сложили с третьей, а затем из третьей строки вычли вторую.

Последней матрице соответствует система уравнений

x	y	5z	3,
	5y	16z	7.

Неизвестные x и y можно выразить через z:

y	7		16 z,
	5		5
x	8		9 z.
	5		5

Придавая z произвольные значения, получим соответствующие значения x и y . Таким образом, система имеет множество решений вида:

x	8		9 z,	y	7		16 z.
	5		5		5		5

Такая СЛАУ называется совместной и неопределенной.

Пример 4. Решить по правилу Крамера систему:

														2x			y						3,
																							3z 7,
														x
																	5y						z 3.
				Решение:
		2			1	0					0	3				1	3				2 ( 15 ) 1
		1 0				3			2					1											1 29		.
											5	1				0	1
		0			5	1
				3	1	0				0		3			7		3		3 15 1 7 9
				7 0		3			3				1													45 16		29	.
x										5		1			3		1
				3	5	1

16

		2			3		0						7				3					1 3											7		9 3 1
y		1 7					3					2								3												2										32 3 29		.
		0			3		1						3				1					0						1
				2	1		3								0		7				1 3							2 35 1 3 15 70 12 58.
z				1 0			7					2						1
				0	5		3								5		3				5				3
		По формулам Крамера
				x			x	-29					1				,			y					y				-29				1 ,				z	z				58	2 .
																													-29													29
							-29
		Пример 5. Решить с помощью обратной матрицы:
																	x							2 y							-		z		2,
																				3 x													2 z 5,
																								- 2 y 5z											7.
																	4 x
		Решение:																		1
																1	2															2	1		2		1	2
																								3
																3	0 2
																4	2			5												2	5				4	2

3 10 2 2 2 8 24 20 4.

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А.

A		0					2				4,	A21						2			1				8 ,				A		2 1									4 ,
11				2			5											2		5									31		0					2
A						3	2				7 ,	A		1					1		9 ,								A						1	1						5 ,
12						4	5					22		4					5										32						3					2
A				3			0				6 ,	A				1			2				10 ,						A				1			2		6.
13				4			2					23				4			2										33				3			0
																									1			4	8	4
Обратная матрица имеет вид																				1
																			A									7	9				5			.
																									4
																												6	10				6
																			17

			1		4 8		4			2		1
Находим решение X A	1	B
					7	9	5			5		1 .
			4
					6 10		6			7
												1
Таким образом, система имеет решение						x = 1,			y = 1,				z = 1.
Пример 6. Даны два линейных преобразования:
y1 2x1 1x2 5x3 ,					z1 y1 4 y2 3y3 ,
y2 x1 4x2 x3 ,					z2 5y1 1y2 1y3 ,
y3 3x1 5x2 2x3 ,					z3 3y1 6 y2 7 y3 .

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее вектор z через вектор x.

Решение. Преобразования определяются матрицами

2		1	5			1		4	3
	1 4				,		5	-1
A			1			Â			1 .
	3	-5	2				3 6		7

Перемножив матрицы В и А, получим искомую матрицу С:

1		4	3 2 -1				5		15 0		7
	5	-1			1	4				6 -4	24
C ÂA			1				-1					.
	3 6		7		3	-5	2			33 -14	23

Следовательно, преобразование будет выглядеть так: z1 15x1 7x3 ,

z2 6x1 4x2 24x3 , z3 33x1 14x2 23x3 .

Пример 7. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

	5	0	21
	21	2	16
A				.
	1	0	1

Решение. Составляем характеристическое уравнение матрицы А и решаем его, т.е. находим собственные значения матрицы А.

18

						5	0	21		1	0	0		5 λ	0	21
	A	λE				21 2				0	1			21	2 λ	16	2	λ	5 λ	21
								16	λ			0
						1	0			0	0			1	0	1 λ			1	1 λ
								1				1
2		5 1 21 0,

2 λ λ2 6λ 16 0; 2 λ 2 λ λ 8 0,

λ1 2,λ2 8,λ3 2.

Для нахождения собственных векторов матрицы А необходимо каждое собственное значение i , i 1,2,3. подставить в (1.6) и решить

соответствующее СЛАУ. Решение СЛАУ и есть координаты

собственных векторов. Для 1 2 получим:

							5	0	21 x11				x11
AX	1		X	1	,		21	2	16	x		2	x		,
		1								21			21
							1	0	1	x			x
										31			31

	5x		21x	2x ,		7x		21x	0,
	11		31	11		11		31
21x11		2x21	16x31	2x21	, 21x11		4x21	16x31	0,
	x		x	2x ,		x		3x	0.
	11		31	31		11		31

СЛАУ можно решить методом Гаусса.

Мы решим по иному. Если первое уравнение разделить на 7 , то оно окажется таким же, как третье. Это значит, что одно из уравнений лишнее. Отбросим первое уравнение и получим:

21x		4x	16x	0,
	11	21	31
	x11		3x31	0.

Решим СЛАУ, используя (1.8).
x k		4	16		12k,x	21	k		21	16		47k,x	31	k		21	4		4k.
11		0	3						1	3						1	0

Первый собственный вектор X1 12k, 47k, 4k k 12, 47, 4 .

Для 2	8 получим:
							5	0	21 x12				x12
	AX	2	X	2	,		21	2	16	x		8	x		,
			2							22			22
							1	0	1	x			x
										32			32

19

	5x		21x	8x ,	3x			21x	0,
	12		32	12		12		32
21x12		2x22	16x32	8x22 ,		21x12	6x22	16x32	0,
	x		x	8x ,		x		7x	0.
	12		32	32		12		32

Если первое уравнение почленно разделить на (-3), получим третье. Отбрасываем первое уравнение и решаем СЛАУ по формуле

(1.8).

21x		6x	16x	0,
	12	22	32
	x12		7x32	0.

x k		6	16		42k,x		22	k			21	16			163k,x		32	k			21	6		6k.
12		0	7								1	7									1	0
Второй собственный вектор X 2 42k,163k,6k k 42,163,6 .
Для 3 2 получим:
									5 0			21 x					x
			AX 3 λ3 X 3										13					13
								,	21 2 16 x23							2 x23			,
									1 0 1				x				x
													33					33
	5x					21x			2x ,				3x					21x				0,
	13						33		13				13						33
21x13			2x23			16x33			2x23 , 21x13							0x23		16x33				0,
		x				x			2x ,				x						x			0.
	13		что x23				33		33				13						33
Видно,						может принимать любые значения (от этого
СЛАУ не изменится). Значит x23 k													свободная переменная. СЛАУ

преобразовалось в однородное, содержащее 3 уравнения и 2

переменные. Не трудно полагать, что оно имеет решение x13 x33 0 .
Эту же СЛАУ решим метом Гаусса.
	3	0	21		0			1	0	1		0			1	0	1		0
	21	0	16		0			3	0	21		0			0	0	24		0
																				.
	1	0	1		0			21 0		16		0			0	0	37		0

x		0 x		x		0,
	13	23		33
		0 x23		24x33 0,
				37x33 0.
	x33 0, x23		k, x13		0.
Третий собственный вектор X 3				0k , k , 0k k 0,1, 0 .
			20